同底數(shù)冪的乘法教案設(shè)計(jì)

時(shí)間：2024-05-13 05:56:16

同底數(shù)冪的乘法教案設(shè)計(jì)

同底數(shù)冪的乘法教案設(shè)計(jì)

　　§1.3同底數(shù)冪的乘法

　　●教學(xué)目標(biāo)

　　(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

　　1.經(jīng)歷探索同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)冪的意義.

　　2.了解同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.

　　(二)能力訓(xùn)練要求

　　1.在進(jìn)一步體會(huì)冪的意義時(shí)，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.

　　2.學(xué)習(xí)同底冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.

　　(三)情感與價(jià)值觀要求

　　在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時(shí)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

　　●教學(xué)重點(diǎn)

　　同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則及其應(yīng)用.

　　●教學(xué)難點(diǎn)

　　同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用.

　　●教學(xué)方法

　　引導(dǎo)啟發(fā)法

　　教師引導(dǎo)學(xué)生在回憶冪的意義的基礎(chǔ)上，通過(guò)特例的推理，再到一般結(jié)論的推出，啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用舊知識(shí)解決新問(wèn)題，得出新結(jié)論，并能靈活運(yùn)用.

　　●教具準(zhǔn)備

　　小黑板

　　●教學(xué)過(guò)程

　�、�.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課

　　［師］同學(xué)們還記得“an”的意義嗎？

　�。凵輆n表示n個(gè)a相乘，我們把這種運(yùn)算叫做乘方.乘方的結(jié)果叫冪，a叫做底數(shù)，n是指數(shù).

　�。蹘煟菸覀兓貞浟藘绲囊饬x后，下面看這一章最開(kāi)始提出的問(wèn)題(出示投影片§1.3 A):

　　問(wèn)題1：光的速度約為3×105千米/秒，太陽(yáng)光照射到地球上大約需要5×102秒，地球距離太陽(yáng)大約有多遠(yuǎn)？

　　問(wèn)題2：光在真空中的速度大約是3×105千米/秒，太陽(yáng)系以外距離地球最近的恒星是比鄰星，它發(fā)出的光到達(dá)地球大約需4.22年.一年以3×107秒計(jì)算，比鄰星與地球的距離約為多少千米？

　�。凵莞鶕�(jù)距離=速度×?xí)r間，可得：

　　地球距離太陽(yáng)的距離為：3×105×5×102=3×5×(105×102)(千米)

　　比鄰星與地球的距離約為：3×105×3×107×4.22=37.98×(105×107)(千米)

　　［師］105×102，105×107如何計(jì)算呢？

　�。凵莞鶕�(jù)冪的意義：

　　105×102= ×

　　=107

　　105×107

　�。蹘煟莺馨�！我們觀察105×102可以發(fā)現(xiàn)105、102這兩個(gè)因數(shù)是同底的冪的形式，所以105×102我們把這種運(yùn)算叫做同底數(shù)冪的乘法，105×107也是同底數(shù)冪的乘法.

　　由問(wèn)題1和問(wèn)題2不難看出，我們有必要研究和學(xué)習(xí)這樣一種運(yùn)算——同底數(shù)冪的乘法.

　　Ⅱ.學(xué)生通過(guò)做一做、議一議，推導(dǎo)出同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)

　　1.做一做

　　計(jì)算下列各式：

　　(1)102×103；

　　(2)105×108；

　　(3)10m×10n(m,n都是正整數(shù))

　　你發(fā)現(xiàn)了什么？注意觀察計(jì)算前后底數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，并能用自己的語(yǔ)言加以描述.

　　(4)2m×2n等于什么？( )m×( )n呢，(m,n都是正整數(shù)).

　�。蹘煟莞鶕�(jù)冪的意義，同學(xué)們可以獨(dú)立解決上述問(wèn)題.

　�。凵�(1)102×103=(10×10)×(10×10×10)=105=102+3

　　因?yàn)?02的意義表示兩個(gè)10相乘；103的意義表示三個(gè)10相乘.根據(jù)乘方的意義5個(gè)10相乘就表示105同樣道理，可求得：

　　(2)105×108

　　= ×

　　=1013=105+8

　　(3)10m×10n

　　= ×

　　=10m+n

　　從上面三個(gè)小題可以發(fā)現(xiàn)，底數(shù)都為10的冪相乘后的結(jié)果底數(shù)仍為10，指數(shù)為兩個(gè)同底的冪的指數(shù)和.

　　［師］很好！底數(shù)不同10的同底的冪相乘后的結(jié)果如何呢？接著我們來(lái)利用冪的意義分析第(4)小題.

　�。凵�(4)2m×2n

　　= ×

　　=2m+n

　　( )m×( )n

　　= ×

　　=( )m+n

　　我們可以發(fā)現(xiàn)底數(shù)相同的冪相乘的結(jié)果的底數(shù)和原來(lái)底數(shù)相同，指數(shù)是原來(lái)兩個(gè)冪的指數(shù)的和.

　　2.議一議

　　出示投影片(§1.3 C)

　　am?an等于什么(m,n都是正整數(shù))？為什么？

　�。蹘熒参觯輆m?an表示同底的冪的乘法，根據(jù)冪的意義，可得

　　am?an= ?

　　= =am+n

　　即有am?an=am+n(m,n都是正整數(shù))

　　用語(yǔ)言來(lái)描述此性質(zhì)，即為：

　　同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

　　［師］同學(xué)們不妨再來(lái)深思，為什么同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加呢？即為什么am?an=am+n呢？

　�。凵輆m表示m個(gè)a相乘，an表示n個(gè)a相乘，am?an表示m個(gè)a相乘再乘以n個(gè)a相乘，即有(m+n)個(gè)a相乘，根據(jù)乘方的意義可得am?an=am+n.

　　［師］也就是說(shuō)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)要降低一級(jí)運(yùn)算，變?yōu)橄嗉?

　　Ⅲ.例題講解

　�。劾�1］計(jì)算：

　　(1)(－3)7×(－3)6；(2)( )3×( )；

　　(3)－x3?x5;(4)b2m?b2m+1.

　　［例2］用同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)計(jì)算投影片(§1.3 A)中的問(wèn)題1和問(wèn)題2.

　�。蹘煟菸覀兿葋�(lái)看例1中的四個(gè)小題，是不是都能用同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)呢？

　�。凵�(1)、(2)、(4)都能直接用同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)——底數(shù)不變，指數(shù)相加.

　�。凵�(3)也能用同底數(shù)冪乘法的性質(zhì).因?yàn)椋瓁3?x5中的－x3相當(dāng)于(－1)×x3,也就是說(shuō)－x3的底數(shù)是x,x5的底數(shù)也為x,只要利用乘法結(jié)合律即可得出.

　�。蹘煟菹旅嫖揖徒兴膫€(gè)同學(xué)板演.

　　［生］解：(1)(－3)7×(－3)6=(－3)7+6=(－3)13；

　　(2)( )3×( )=( )3+1=( )4；

　　(3)－x3?x5=［(－1)×x3］?x5=(－1)［x3?x5］=－x8;

　　(4)b2m?b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.

　�。蹘煟菸覀兘酉聛�(lái)看例2.

　�。凵輪�(wèn)題1中地球距離太陽(yáng)大約為：

　　3×105×5×102

　　=15×107

　　=1.5×108(千米)

　　據(jù)測(cè)算，飛行這么遠(yuǎn)的距離，一架?chē)姎馐娇蜋C(jī)大約要20年.

　　問(wèn)題2中比鄰星與地球的距離約為：

　　3×105×3×107×4.22=37.98×1012=3.798×1013(千米)

　　想一想：am?an?ap等于什么？

　�。凵輆m?an?ap=(am?an)?ap=am+n?ap=am+n+p;

　�。凵輆m?an?ap=am?(an?ap)=am?an+p=am+n+p;

　　［生］am?an?ap= ? ? =am+n+p.

　�、�.練習(xí)

　　1.隨堂練習(xí)(課本P14)：計(jì)算

　　(1)52×57;(2)7×73×72;(3)－x2?x3;(4)(－c)3?(－c)m.

　　解：(1)52×57=59；

　　(2)7×73×72=71+3+2=76；

　　(3)－x2?x3=－(x2?x3)=－x5;

　　(4)(－c)3?(－c)m=(－c)3+m.

　　2.補(bǔ)充練習(xí)：判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

　　(1)x3?x5=x15 ( )

　　(2)x?x3=x3 ( )

　　(3)x3+x5=x8 ( )

　　(4)x2?x2=2x4 ( )

　　(5)(－x)2?(－x)3=(－x)5=－x5 ( )

　　(6)a3?a2－a2?a3=0 ( )

　　(7)a3?b5=(ab)8 ( )

　　(8)y7+y7=y14 ( )

　　解：(1)×.因?yàn)閤3?x5是同底數(shù)冪的乘法，運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即x3?x5=x8.

　　(2)×.x?x3也是同底數(shù)冪的乘法，但切記x的指數(shù)是1，不是0，因此x?x3=x1+3=x4.

　　(3)×.x3+x5不是同底數(shù)冪的乘法，因此不能用同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，同時(shí)x3+x5是兩個(gè)單項(xiàng)式相加，x3和x5不是同類(lèi)項(xiàng)，因此x3+x5不能再進(jìn)行運(yùn)算.

　　(4)×.x2?x2是同底數(shù)冪的乘法，直接用運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)為x2?x2=x2+2=x4.

　　(5)√.

　　(6)√.因?yàn)閍3?a2－a2?a3=a5－a5=0.

　　(7)×.a3?b5中a3與b5這兩個(gè)冪的底數(shù)不相同.

　　(8)×.y7+y7是整式的加法且y7與y7是同類(lèi)項(xiàng)，因此應(yīng)用合并同類(lèi)項(xiàng)法則，得出y7+y7=2y7.

　　Ⅴ.課時(shí)小結(jié)

　�。蹘煟葸@節(jié)課我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們談一下有何新的收獲和體會(huì)呢？

　�。凵菰谔剿魍讛�(shù)冪乘法的性質(zhì)時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)了冪的意義.了解了同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì).

　�。凵萃讛�(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)是底數(shù)不變，指數(shù)相加.應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)，我覺(jué)得應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須是同底數(shù)冪的乘法才能運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)；二是運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)計(jì)算時(shí)一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加.即am?an=am+n(m、n是正整數(shù)).

　�、�.課后作業(yè)

　　課本習(xí)題1.4第1、2、3題

　�、�.活動(dòng)與探究

　　§1.3同底數(shù)冪的乘法

　　一、提出問(wèn)題：地球到太陽(yáng)的距離為15×(105×102)千米，如何計(jì)算105×102.

　　二、結(jié)合冪的運(yùn)算性質(zhì)，推出同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì).

　　(1)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=107=105+2;

　　(2)105×108= × =1013=105+8；

　　(3)10m×10n= × =10m+n;

　　(4)2m×2n= × =2m+n;

　　(5)( )m×( )n= × =( )m+n;

　　綜上所述，可得

　　am?an= × =am+n

　　(其中m、n為正整數(shù))

　　三、例題：(由學(xué)生板演，教師和學(xué)生共同講評(píng))

　　四、練習(xí)：(分組完成)

　　●備課資料

　　一、參考例題

　�。劾�1］計(jì)算：

　　(1)(－a)2?(－a)3(2)a5?a2?a

　　分析：(1)中的兩個(gè)冪的底數(shù)都是－a;(2)中三個(gè)冪的底數(shù)都是a.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相加.

　　解：(1)(－a)2?(－a)3

　　=(－a)2+3=(－a)5

　　=－a5.

　　(2)a5?a2?a=a5+2+1=a8

　　評(píng)注：(2)中的“a”的指數(shù)為1，而不是0.

　�。劾�2］計(jì)算：

　　(1)a3?(－a)4

　　(2)－b2?(－b)2?(－b)3

　　分析：底數(shù)的符號(hào)不同，要把它們的底數(shù)化成同底的形式再運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程中要注意符號(hào).

　　解：(1)a3?(－a)4=a3?a4=a3+4=a7;

　　(2)－b2?(－b)2?(－b)3

　　=－b2?b2?(－b3)

　　=b2?b2?b3=b7.

　　評(píng)注：(1)中的(－a)4必須先化為a4,才可運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)計(jì)算；(2)中－b2和(－b)2不相同，－b2表示b2的相反數(shù)，底數(shù)為b,而不是－b,(－b)2表示－b的平方，它的底數(shù)是－b,且(－b)2=(+b)2,所以(－b)2=b2,而(－b)3=－b3.

　�。劾�3］計(jì)算：

　　(1)(2a+b)2n+1?(2a+b)3?(2a+b)m－1

　　(2)(x－y)2(y－x)3

　　分析：分別把(2a+b),(x－y)看成一個(gè)整體，(1)是三個(gè)同底數(shù)冪相乘；(2)中底不相同，可把(x－y)2化為(y－x)2或把(y－x)3化為－(x－y)3,使底相同后運(yùn)算.

　　解：(1)(2a+b)2n+1?(2a+b)3?(2a+b)m－1

　　=(2a+b)2n+1+3+m－1

　　=(2a+b)2n+m+3

　　(2)解法一：(x－y)2?(y－x)3

　　=(y－x)2?(y－x)3

　　=(y－x)5

　　解法二：(x－y)2?(y－x)3

　　=－(x－y)2(x－y)3

　　=－(x－y)5

　　評(píng)注：(2)中的兩個(gè)冪必須化為同底再運(yùn)算，采用兩種化同底的方法運(yùn)算得到的結(jié)果是相同的.

　�。劾�4］計(jì)算：

　　(1)x3?x3(2)a6+a6(3)a?a4

　　分析：運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：am?an=amn,am+an=am+n.例如(1)易錯(cuò)解為x3?x3=x9;(2)易錯(cuò)解為a6+a6=a12;(3)易錯(cuò)解為a?a4=a4,而(1)中3和3應(yīng)相加；(2)是合并同類(lèi)項(xiàng)；(3)也是易忽略的地方，把a(bǔ)的指數(shù)1看成0.

　　解：(1)x3?x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a?a4=a1+4=a5

　　二、在同底數(shù)冪的乘法常用的幾種恒等變形.

　　(a－b)=－(b－a)

　　(a－b)2=(b－a)2

　　(a－b)3=－(b－a)3

　　(a－b)2n－1=－(b－a)2n－1(n為正整數(shù))

　　(a－b)2n=(b－a)2n(n為正整數(shù))

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