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數(shù)列求和的方法技巧總結(jié)

時(shí)間:2024-09-22 11:06:35

關(guān)于數(shù)列求和的方法技巧總結(jié)

關(guān)于數(shù)列求和的方法技巧總結(jié)

關(guān)于數(shù)列求和的方法技巧總結(jié)

  大家對(duì)于數(shù)列求和都了解嗎?那么數(shù)列求和的方法技巧都是怎樣的呢?下面是小編分享給大家的數(shù)列求和的方法技巧總結(jié),希望對(duì)大家有幫助。

  一、倒序相加法

  此法來(lái)源于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法。

  例1. 已知

  求

  解:

  。 ①

  把等式①的右邊順序倒過(guò)來(lái)寫(xiě),即①可以寫(xiě)成以下式子:

 、

  把①②兩式相加得

  二、錯(cuò)位相消法

  此法來(lái)源于等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法。

  例2. 求數(shù)列

  的前n項(xiàng)和。

  解:設(shè)

  當(dāng)

  時(shí),

  當(dāng)

  時(shí),

  ①

 、偈絻蛇呁瑫r(shí)乘以公比a,得

 、

  ①②兩式相減得

  三、拆項(xiàng)分組法

  把一個(gè)數(shù)列分拆成若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列),然后利用相應(yīng)公式進(jìn)行分別求和。

  例3. 求數(shù)列

  的前n項(xiàng)和。

  解:設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為

  ,則

  當(dāng)

  時(shí),

  當(dāng)

  時(shí),

  說(shuō)明:在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)對(duì)q=1與

  的情況進(jìn)行討論。

  四、裂項(xiàng)相消法

  用裂項(xiàng)相消法求和,需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧。如

  例4. 求數(shù)列

  的前n項(xiàng)和。

  解:

  五、奇偶數(shù)討論法

  如果一個(gè)數(shù)列為正負(fù)交錯(cuò)型數(shù)列,那么從奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別總結(jié)出

  與n的關(guān)系進(jìn)行求解。

  例5. 已知數(shù)列

  求該數(shù)列的前n項(xiàng)和

  。

  解:

  對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)討論求和。

 、佼(dāng)

  時(shí),

 、诋(dāng)

  時(shí),

  六、通項(xiàng)公式法

  利用

  ,問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成了求數(shù)列

  的通項(xiàng)問(wèn)題。這種方法不僅思路清晰,而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔。

  例6. 已知數(shù)列

  求該數(shù)列的前n項(xiàng)和

  。

  解:

  即

  ∴數(shù)列

  是一個(gè)常數(shù)列,首項(xiàng)為

  七、綜合法

  這種方法靈活性比較大,平時(shí)注意培養(yǎng)對(duì)式子的敏銳觀察力,盡量把給定數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列來(lái)處理。

  例7. 已知

  求

  分析:注意觀察到:

  其他可依次類(lèi)推。關(guān)鍵是注意討論最后的n是奇數(shù)還是偶數(shù)。

  解:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),由以上的分析可知:

 、诋(dāng)n為偶數(shù)時(shí),可知:

  由①②可得

  說(shuō)明:對(duì)于以上的各種方法,大家應(yīng)注意體會(huì)其中所蘊(yùn)含的分類(lèi)討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然,數(shù)列求和的方法還有很多,大家平時(shí)還應(yīng)多注意總結(jié)。

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