完全平方公式導(dǎo)學(xué)案板書設(shè)計
完全平方公式導(dǎo)學(xué)案板書設(shè)計
第十三課時
●課題
§1.8.1完全平方公式(一)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點
1.完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.
2.完全平方公式的幾何背景.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力.
2.重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達能力.
(三)情感與價值觀要求
1.了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣.
2.鼓勵學(xué)生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.
●教學(xué)重點
1.完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、語言表述、幾何解釋.
2.完全平方公式的應(yīng)用.
●教學(xué)難點
1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.
2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特點及其應(yīng)用.
●教學(xué)方法
自主探索法
學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探索完全平方公式的幾何解釋、代數(shù)運算角度的推理，揭示其結(jié)構(gòu)特點，然后達到合理、熟練地應(yīng)用.
●教學(xué)過程
�、�.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課
�。蹘煟萑ツ�，一位老農(nóng)在一次“科技下鄉(xiāng)”活動中得到啟示，將一塊邊長為a米的正方形農(nóng)田改成試驗田，種上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻，一年來，收益很大.今年，又一次“科技下鄉(xiāng)”活動，使老農(nóng)鐵了心，要走科技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗田，邊長增加b米，形成四塊試驗田，種植不同的新品種.
同學(xué)們，誰來幫老農(nóng)實現(xiàn)這個愿望呢？
(同學(xué)們開始動手在練習(xí)本上畫圖，尋求解決的途徑)
［生］我能幫這位爺爺.
�。蹘煟菽隳馨涯愕慕Y(jié)果展示給大家嗎？
�。凵菘梢�.如圖1－25所示，這就是我改造后的試驗田，可以種植四種不同的新品種.
圖1－25
�。蹘煟菽隳苡貌煌姆绞奖硎驹囼炋锏拿娣e嗎？
�。凵莞脑旌蟮脑囼炋镒兂闪诉呴L為(a+b)的大正方形，因此，試驗田的總面積應(yīng)為(a+b)2.
�。凵菀部梢园言囼炋锏目偯娣e看成四部分的面積和即邊長為a的正方形面積，邊長為b的正方形的面積和兩塊長和寬分別為a和b的面積的和.所以試驗田的總面積也可表示為a2+2ab+b2.
［師］很好！同學(xué)們用不同的形式表示了這塊試驗田的總面積，進行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？
�。凵菘梢园l(fā)現(xiàn)它們雖形式不同，但都表示同一塊試驗田的面積，因此它們應(yīng)該相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
�。蹘煟菸覀冞@節(jié)課就來研究上面這個公式——完全平方公式.
Ⅱ.講授新課
1.推導(dǎo)完全平方公式
�。蹘煟菸覀兺ㄟ^對比試驗田的總面積得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其實，據(jù)有關(guān)資料表明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認(rèn)識了這個公式.我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個幾何解釋.能不能從代表運算的角度也能推導(dǎo)出這樣的公式呢？
想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多項式乘法法則說明理由嗎？
(2)(a－b)2等于什么？你是怎樣想的.
(同學(xué)們可先在自己的練習(xí)本上推導(dǎo)，教師巡視推導(dǎo)的情況，對較困難的學(xué)生以啟示)
［生］用多項式乘法法則可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)
�。蹘煟萆厦娴膸缀谓忉尯痛鷶�(shù)推導(dǎo)各有什么利弊？
�。凵輲缀谓忉屚耆椒焦浇o我們以非常直觀的認(rèn)識，但幾何解釋(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了條件限制:a>0且b>0;
代數(shù)推導(dǎo)完全平方公式雖然不直觀，但在推導(dǎo)的過程中，a,b可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，零，也可以是單項式,多項式.
�。蹘煟萃瑢W(xué)們分析得很有道理.接下來，我們來完成第(2)問.
�。凵菀部衫枚囗検匠朔ǚ▌t，則(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是這樣想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意數(shù)或單項式、多項式.我們用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［師］這位同學(xué)的想法很好.因為他很留心我們表述的每一句話的含義，你能繼續(xù)沿著這個思路做下去嗎？我們一塊試一下.
�。蹘熒参觯�
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2?a?(－b)+(－b)2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2?a?b+b2
=a2－2ab+b2.
于是，我們得到又一個公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)
�。蹘煟菽隳苡谜Z言描述上述公式(1)、(2)嗎？
�。凵莨�(1)用語言描述為：兩個數(shù)的和的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的和；公式(2)用語言描述為：兩個數(shù)的差的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的差.這兩個公式為完全平方公式.它們和平方差公式一樣可以使整式的運算簡便.
2.應(yīng)用、升華
�。劾�1］利用完全平方公式計算：
(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;
(3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步，準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡.
解：(1)方法一：
�。劾�2］利用完全平方公式計算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此題需靈活運用完全平方公式，(1)題可轉(zhuǎn)化為(2y－x)2或(x－2y)2,再運用平方差公式；(2)題需轉(zhuǎn)化為(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)題利用加法結(jié)合律變形為［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式計算；(4)題可利用完全平方公式，再合并同類項，也可逆用平方差公式進行計算.(5)題可先逆用冪的運算性質(zhì)變形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2
=4y2－4xy+x2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.
(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)?z+z2
=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.
(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2
=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)
=4xy.
方法二：(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2
=［(2x－3y)(2x+3y)］2
=［4x2－9y2］2
=16x4－72x2y2+81y4.
�、�.隨堂練習(xí)
課本P34，1.計算：
(1)( x－2y)2;(2)(2xy+ x)2;
(3)(n+1)2－n2.
解：(1)( x－2y)2=( x)2－2? x?2y+(2y)2= x2－2xy+4y2
(2)(2xy+ x)2=(2xy)2+2?2xy? x+( x)2=4x2y2+ x2y+ x2
(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.
�、�.課后作業(yè)
1.課本P36.習(xí)題1.13的第1、2、3題.
2.閱讀“讀一讀”，并回答文章中提出的問題.
●板書設(shè)計
§1.8.1完全平方公式(一)
一、幾何背景
試驗田的總面積有兩種表示形式：
�、賏2+2ab+b2
②(a+b)2
對比得：(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代數(shù)推導(dǎo)
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2
=a2－2ab+b2
三、例題講例
例1.利用完全平方公式計算：
(1)(2x－3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn－a)2
1.填空題
(1)(－3x+4y)2= .
(2)(－2a－b)2= .
(3)x2－4xy+ =(x－2y)2.
(4)a2+b2=(a+b)2+ .
(5) a2+ +9b2=( a+3b)2.
(6)(a－2b)2+(a+2b)2= .
2.選擇題
(1)下列計算正確的是( )
A.(m－1)2=m2－1
B.(x+1)(x+1)=x2+x+1
C.( x－y)2= x2－xy－y2
D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4
(2)如果x2+mx+4是一個完全平方式，那么m的值是( )
A.4 B.－4 C.±4 D.±8
(3)將正方形的邊長由a cm增加6 cm,則正方形的面積增加了( )
A.36 cm2 B.12a cm2
C.(36+12a)cm2 D.以上都不對
3.用乘法公式計算
(1)( x－ y)2
(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案：1.(1)9x2－24xy+16y2
(2)4a2+4ab+b2(3)4y2(4)－2ab
(5)3ab(6)2a2+8b2
2.(1)D(2)C(3)C
3.(1) x2－ xy+ y2(2)－8x2y2
(3)809999(4)998001
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