數(shù)學測試題大全參考
數(shù)學測試題參考1
《1.2 函數(shù)及其表示（2）》測試題
一、選擇題
1.設(shè)函數(shù)，則( ).
A. B.3 C. D.
考查目的：主要考查分段函數(shù)函數(shù)值求法.
答案：D.
解析：∵，∴，∴，故答案選D.
2.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是( ).
A.， B.，
C.， D.，
考查目的：主要考查對函數(shù)概念的理解.兩個函數(shù)相同，則這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系均要相同.
答案：C
解析：A、B選項錯，是因為兩個函數(shù)的定義域不相同；D選項錯，是因為兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同.
3.函數(shù)的圖象如圖所示， 對于下列關(guān)于函數(shù)說法：
①函數(shù)的定義域是；
②函數(shù)的值域是；
③對于某一函數(shù)值，可能有兩個自變量的值與之對應(yīng).
其中說法正確的有( ).
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
考查目的：本題主要考查對函數(shù)概念的理解以及對區(qū)間符號的認識.
答案：C
解析：從圖可知，函數(shù)的定義域是[，所以①不正確，②、③說法正確，故選C.
二、填空題
4.如圖，函數(shù)的圖像是曲線OAB，其中點O、A、B的坐標分別為（O，O），（1，2），（3，1），則的值等于 .
考查目的：主要考查用圖象表示函數(shù)關(guān)系以及求函數(shù)值.
答案：2
解析：由圖可知，，，∴.
5.已知函數(shù)，，則實數(shù)的值等于 ．
考查目的：主要考查分段函數(shù)的函數(shù)值的求法.
答案：.
解析：∵，∴，∴，∴，∴只能有，.
高中地理;
6.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱.的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖），則函數(shù)的表達式為 .
考查目的：主要考查函數(shù)的表示法：解析法與圖像法，分段函數(shù)的表示.
答案：.
解析：點()關(guān)于直線對稱的點為()，∴的圖象上的三點(-2，0)，(0，1)，(1，3)關(guān)于直線對稱的點分別為(0，-2)，(1，0)，(3，1)，∴函數(shù).
三、解答題
7.已知的定義域是，求的表達式.
考查目的：主要考查函數(shù)的解析式的求法.一定要注意函數(shù)的定義域.
答案：.
解析：，令，則，且，∴，
即，則.
8.某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖4節(jié)車廂，一日能來回16次， 如果每次拖7節(jié)車廂，則每日能來回10次.
�、湃裘咳諄砘氐拇螖�(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，求此一次函數(shù)解析式；
�、圃冖诺臈l件下，每節(jié)車廂能載乘客110人，問這列火車每天來回多少次才能使運營人數(shù)最多?并求出每天最多運營人數(shù).
考查目的：主要考查實際問題中求函數(shù)解析式、二次函數(shù)求最值.
解析：⑴設(shè)每日來回次，每次掛節(jié)車廂，，由題意知，當時，當時，∴，解得，∴；
�、圃O(shè)每日來回次，每次掛節(jié)車廂，由題意知，每日掛車廂最多時，營運人數(shù)最多，設(shè)每日營運節(jié)車廂，則，∴當時，，此時，則每日最多運營人數(shù)為110×72=7920(人)，即這列火車每天來回12次，才能使運營人數(shù)最多，每天最多運營人數(shù)為7920.
高考數(shù)學復習：名師指點2016年高考數(shù)學一輪復習方法
2010年高考又該怎么復習，怎么規(guī)劃呢?很多成功考生的經(jīng)驗告訴我們，“信心和毅力比什么都重要”。那些肯于用自己的腦袋學習，既有刻苦精神，又講求科學方法的同學，在學習的道路上一定會有長足的進步。
第一輪復習，即基礎(chǔ)復習階段，這個階段的復習是整個高考復習中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，一般從8月份到第二年的三月份，歷時8個月，這一階段的復習效果直接影響整個高考的成敗，因此同學們應(yīng)該高度重視，在第一輪復習中我們必須嚴格按照《復習大綱》的要求，把《大綱》中所有的考點逐個進行突破，全面落實，形成完整的知識體系。這就需要考生要對課本中的基本概念，基本公式，基本方法重點掌握，在復習中應(yīng)淡化特殊技巧的訓練，重視數(shù)學思想和方法的作用。常用的數(shù)學思想方法有：(1)函數(shù)思想方法：根據(jù)問題的特點構(gòu)建函數(shù)將所要研究的問題，轉(zhuǎn)化為對構(gòu)建函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、對稱性、范圍和圖像的交點個數(shù)等的研究;(2)方程思想方法：通過列方程(組)建立問題中的已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，通過解方程(組)實現(xiàn)化未知為已知，從而實現(xiàn)解決問題的目的;(3)數(shù)形結(jié)合的思想：它可以把抽象的數(shù)學語言與直觀圖形相對應(yīng)，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，(4)分類討論的思想：此思想方法在解答題中越來越體現(xiàn)出其重要地位，在解題中應(yīng)明確分類原則：標準要統(tǒng)一，不重不漏。
同時考生在此階段的復習過程中一定要重視教材的作用，我們有很大一部分考生不重視課本，甚至在高考這一年中從來沒翻過課本，這是非常危險的。因為高考試題有一部分都是從書上的例題和練習里引申變形而來的，對于我們基礎(chǔ)比較薄弱的.同學來講，就更應(yīng)該仔細閱讀教材，認真琢磨書上的例題，體會其中包含的數(shù)學思想和數(shù)學方法。這對于我們提高數(shù)學能力是非常有幫助的!
對于課外參考書的選擇我認為選擇一到兩本適合自己的參考書，把里面的精髓學懂學會就足夠了，不必弄的太多，弄的太多，反而對自己是一個很大的包袱。
高三數(shù)學概率訓練題
章末綜合測（10）概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
①“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；
②“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；
③“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；
�、堋叭〕�3只紅球”與“取出3只白球”．
其中是對立事件的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．③
D解析：從袋中任取3只球，可能取到的情況有：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的兩個事件都不是對立事件．對于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”三種情況，與“取出3只紅球”是對立事件.
2．取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是( )
A.14 B.13
C.12 D.23
C解析：把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝24＝12.
3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲 、乙兩人下一盤棋，你認為最為可能出現(xiàn)的情況是( )
A．甲獲勝 B．乙獲勝
C．甲、乙下成和棋 D．無法得出
C解析：兩人下成和棋的概率為50%，乙勝的概率為20%，故甲、乙兩人下一盤棋，最有可能出現(xiàn)的情況是 下成和棋.
4．如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為a2的扇形，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是( )
A．1－π4 B.π4
C．1－π8 D．與a的取值有關(guān)
A 解析：幾何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故選A.
5．從1,2,3,4這四個數(shù)中，不重復地任意取兩個種，兩個數(shù)一奇一偶的概率是( )
A.16 B.25
C.13 D.23
D 解析：基本事件總數(shù)為6，兩個數(shù)一奇一偶的情況有4種，故所求概率P＝46＝23.
6．從含有4個元素的集合的所有子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率是( )
A.310 B.112
C.4564 D.38
D解析：4個元素的集合共16個子集，其中含有兩個元素的子集有6個，故所求概
率為P＝616＝38.
7 ．某班準備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是( )
A．一定不會淋雨 B．淋雨的可能性為34
C．淋雨的可能性為12 D．淋雨的可能性為14
D解析：基本事件有“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下
雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為14.
8．將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為( )
A.19 B.112
C.115 D.118
D解析：基本事件總數(shù)為216，點數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12個，故求概率為P＝12216＝118.
9．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和集合B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則N的所有可能值為( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
D解析：點P(a，b)的個數(shù)共有2×3＝6個，落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直線x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故選D.
10．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈0，π2的概率是( )
A.512 B.12
C.712 D.56
C 解析：基本事件總數(shù)為36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21個，故所求概率為P＝2136＝712.
11．在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，方格的邊長(方格邊長設(shè)為a)要多少才能使得硬幣與方格線不相交的概率小于1% ( )
A．a(chǎn)＞910 B．a(chǎn)＞109
C．1＜a＜109 D．0＜a＜910
C解析：硬幣與方格線不相交，則a＞1時，才可能發(fā)生，在每一個方格內(nèi)，當硬幣的圓心落在邊長為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內(nèi)時，硬幣與方格線不相交，故硬幣與方格線不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.
12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得點數(shù)記作a，擲第二顆骰子得數(shù)記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )
A.14 B.29
C.736 D.536
B解析：根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可知A∩B對應(yīng)如圖所示的陰影部分的區(qū)域中的整數(shù)點．其中整數(shù)點有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14個．現(xiàn)先后拋擲2顆骰子，所得點數(shù)分別有6種，共會出現(xiàn)36種結(jié)果，其中落入陰影區(qū)域內(nèi)的有8種，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以滿足(a，b)∈A∩B的概率為836＝29，
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．若實數(shù)x，y滿足x≤2，y≤1，則任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率為__________．
解析：點(x，y)在由直線x＝±2和y＝±1圍成的矩形上或其內(nèi)部，使x2＋y2≤1的點(x，
y)在以原點為圓心，以1為半徑的圓上或其內(nèi)部，故所求概率為P＝π4×2＝π8.
答案：π8
14．從所有三位二進制數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則這個數(shù)化為十進制數(shù)后比5大的概率是
________．
解析：三位二進制數(shù)共有4個，分別111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)與110(2)化為十
進制數(shù)后比5大，故所求概率為P＝24＝12.
答案：12
15．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為n，方程
組mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一組解的概率是__________．
1718 解析：由題意，當m2≠n3，即3m≠2n時，方程組只有一解．基本事件總數(shù)為36，
滿足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共兩個，故滿足3m≠2n的基本事件數(shù)為34個，
故所求概率為P＝3436＝1718.
16．在圓(x－2)2＋(y－2)2＝8內(nèi)有一平面區(qū)域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，點P是圓內(nèi)的
任意一點，而且出現(xiàn)任何一個點是等可能的．若使點P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最
大，則m＝__________.
0 解析：如圖所示，當m＝0時，平面區(qū)域E的面積最大，
則點P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽 命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42
頻率[]
(1)將各組的頻率填入表中；
(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足1 500小時的頻率；
(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管15支，若將上述頻率作為概率，估計經(jīng)過1 500小時約需換幾支燈管．
解析：
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42
頻率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以，燈管使用壽命不足1 500小時的頻率是0.6.
(3)由(2)只，燈管使用壽命不足1 500小時的概率為0.6.
15×0.6＝9，故經(jīng)過1 500小時約需換9支燈管．
18．(12分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)有放回地隨機摸取3次，每次摸 取一個球．
(1)一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；
(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．
解析：(1)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：
(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、
(黑、紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑、黑、黑)．
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，
事件A包含的基本事件為：
(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)．
事件A包含的基本事件數(shù)為3.
由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，
所以事件A的概率為P(A)＝38.
19．(12分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.設(shè)復數(shù)z＝a＋bi.
(1)求事件“z－3i為實數(shù)”的概率；
(2)求事件“復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應(yīng)點(a，b)滿足(a－2)2＋b2≤9”的概率．
解析：(1)z－3i為實數(shù)，
即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實數(shù)，∴b＝3.
又b可取1,2,3,4,5,6，故出現(xiàn)b＝3的概率為16.
即事件“z－3i為實數(shù)”的概率為16.
(2)由已知，b的值只能取1,2,3.
當b＝1時，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；
當b＝2時，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；
當b＝3時，(a－2)2≤0，即a可取2.
綜上可知，共有9種情況可使事件成立．
又a，b的取值情況共有36種，
所以事件“點(a，b)滿足(a－2 )2＋b2≤9”的概率為14.
20．(12分)汶川地震發(fā)生后，某市根據(jù)上級要求，要從本市人民醫(yī)院報名參加救援的護理專家、外科專家、治療專家8名志愿者中，各抽調(diào)1名專家組成一個醫(yī)療小組與省專家組一起赴汶川進行醫(yī)療求助，其中A1，A2，A3是護理專家，B1，B2，B3是外科專家，C1，C2是治療專家．
(1)求A1恰被選中的概率；
(2)求B1和C1不全被選中的概率．
解析：(1)從8名志愿者中選出護理專家、外科專家、心理治療專家各1名，其一切可能的結(jié)果為：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個基本事件．
用M表示“A1恰被選中 ”這一事件，則
M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個基本事件．
所以P(M)＝618＝13.
(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則 其對立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個基本事件，
所以P(N)＝318＝16，
由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.
21．(12分)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是從－4，－3，－2，－1四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
(2)若a是從區(qū)間[－4，－1]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[1,3]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．
解析：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．
當a＜0，b＞0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a＋b≤0.
(1)基本事件共12個：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，
(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．
其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為
P(A)＝912＝34.
(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，
所求概率為這兩區(qū)域面積的比．
所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.
22．(12分)某單位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分別擔任周六、周日的值班任務(wù)(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．
(1)共有多少種安排？
(2)其中甲、乙兩人都被安排的概率是多少？
(3)甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是多少？
解析：(1)安排情況如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12種安排方法．
(2)甲、乙兩人都被安排的情況包括：“甲乙”，“乙甲”兩種，故甲、乙兩人都被安排(記為事件A)的概率為
P(A)＝212＝16.
(3)方法一：“甲、乙兩人中至少有一人被安排”與“甲、乙兩人都不被安排”這兩個事件是對立事件，∵甲、乙兩人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”兩種，則“甲、乙兩人都不被安排的概率為212＝16”．
∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.
方法二：甲、乙兩人中至少有一人被安排的情況包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10種，∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1012＝56.
分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理、排列
一. 教學內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理、排列
二. 教學重、難點：
1. 分類計數(shù)原理，分步計數(shù)原理
2.
【典型例題
[例1] 有三個袋子，其中一個袋子裝有紅色小球20個，每個球上標有1至20中的一個號碼，一個袋子裝有白色小球15個，每個球上標有1至15中的一個號碼，第三個袋子裝有黃色小球8個，每個球上標有1至8中的一個號碼。
�。�1）從袋子里任取一個小球，有多少種不同的取法？
�。�2）從袋子里任取紅、白、黃色球各一個，有多少種不同的取法？
解：
�。�1）任取一個小球的可分三類，一類取紅球，有20種取法；一類取白球，有15種取法；一類取黃球，有8種取法。由分類計數(shù)原理共有20 15 8=43種不同取法。
（2）取三色小球各一個，可分三步完成 高中歷史，先取紅球。有20種取法；再取白球，有15種取法；最后取黃球，有8種取法。由分步計數(shù)原理，共有 種不同的取法。
[例2] 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？
解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類：
個位是9，則十位可以是1，2，3，……，8中的一個，故有8個；
個位是8，則十位可以是1，2，3，……，7中的一個，故有7個；
與上同樣。
個位是7的有6個；
個位是6的有5個；
……
個位是2的只有1個。
由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有 （個）
[例3] 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標注的數(shù)字，表示該網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為多少？
解：沿12?D5?D3路線傳遞的信息最大量為3（單位時間內(nèi)），沿12?D6?D4路線傳遞信息的最大量為4……由于以上每個線路均能獨立完成這件事（傳遞信息），故單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3 4 6 6=19。
[例4] 用6種不同的顏色對下圖中5個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能同色，那么共有多少種不同的涂色方法？
解：分五步進行，第一步給5號域涂色有6種方法
第二步給4號涂有5種方法
第三步給1號涂有5種方法
第四步給2號涂有4種方法
第五步給3號涂有4種方法
根據(jù)分步計數(shù)原理，共有 值
�。�1） ；（3） 。
解：（1）由排列數(shù)公式，
得
整理得 或 （舍去） ∴
解得
�。�3）由排列數(shù)公式，得 ∴ ；
�。�2）
∴
�。�3）∵
[例7] 由0，1，2，3，4，5共六個數(shù)字可組成多少個沒有重復數(shù)字且能被5整除的六位數(shù)？
解：組成的六位數(shù)與順序有關(guān)，但首位不能排0，個位必須排0或5，因此分兩類：第一類：個位必須排0，此時前五位數(shù)由1，2，3，4，5共五個數(shù)字組成，這五個數(shù)字的每一個排列對應(yīng)一個六位數(shù)，故此時有 個六位數(shù)。第二類：個位數(shù)排5，此時為完成這件事（構(gòu)造出六位數(shù)）還應(yīng)分兩步，第一步排首位，有4種排法，第二步排中間四位，有 個。
[例8] 用0，1，2，3，4五個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中，其依次從小到大的排列。
�。�1）第49個數(shù)是多少？（2）23140是第幾個數(shù)？
解：（1）1、2是首數(shù)時各組成 個；2在萬位，0、1在千位的共有 個，還有23104比23140小，故23140是第 種方法，然后讓剩下的5個人（其中包括甲）站在中間的5個位置，有 種站法。
方法二：因為甲不在兩端，分兩步排隊，首先排甲，有 種方法，第二步讓其他6人站在其他6個位置上，有 種方法，第二步讓甲插入這6個人之間的空當中，有 種，故共有 種站法。
方法四：在排隊時，對7個人，不考慮甲的站法要求任意排列，有 種方法，因此共有 種排法，再考慮其余5個元素的排法有 種。
方法二：甲、乙兩人不能站在兩端，應(yīng)包括同時不在兩端，某一人在兩端，故用排異法，應(yīng)減去兩種情況，同時在兩端，有 種不同站法。
（3）分三步：第一步，從甲、乙以外的5個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有 種方法，第三步，對甲、乙進行全排列，故共有 種不同站法。
�。�4）方法一：男生站在前4個位置上有 種站法，男女生站成一排是分兩步完成的，因此這種站法共有 種站法，這兩種站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 種排法，然后排四名男生，有 種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，將四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 種排法，在四名男生間的三個間隔共有三個位置安排三名女生，有 種排法符合要求，故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。
（6）在7個位置上任意排列7名，有排法 中每一種情況均以 種。
[例10] 某班開設(shè)的課程有、、、、、、、體育共8門。若星期一上午排4節(jié)不同的課，并且規(guī)定體育課不能排在第一節(jié)及第四節(jié)，那么星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法？
解：若不排體育課，則有 ，且A中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
2. 書架上、下兩層分別放有5本不同的數(shù)學書和4本不同的語文書，從中選兩本數(shù)學書和一本語文書，則不同的選法有 種（ ）
A. 9 B. 13 C. 24 D. 40
3. 不等式 B. 或 或
4. 已知 的值為（ ）
A. 7 B. 2 C. 6 D. 8
5. 2個男生和4個女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（ ）
A. 種
C. 種
6. 27位女同學排隊照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法種數(shù)為（ ）
A.
C.
二. 解答題
1. （1）某教學樓有三個不同的樓梯，4名學生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？（2）有4名同學要爭奪3個比賽項目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？
2. 現(xiàn)有年級四個班學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組。
�。�1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？
�。�2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？
（3）推選兩人作中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？
3. 解下列各式中的 值。
�。�1） （2）
【答案】
一. 選擇題
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C
二. 解答題
1. 解：
（1）4名學生分別下樓，即問題分4步完成。每名學生都有3種不同的下樓方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的下樓方法共有 種。
�。�2）確定3項冠軍人選可逐項完成，即分3步，第1項冠軍人選有4種可能，第2項與第3項也均有4種可能，根據(jù)分步計數(shù)原理：冠軍獲得者共有 （種）
�。�2）分四步，易知不同的選法總數(shù)
�。ǚN）
（3）分六類，每類又分兩步，從一、二班學生中各選1人，有 種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有 種不同選法；從一、四班學生中各選1人，有 種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有 種不同的選法，所以共有不同的選法數(shù)
∴
∴ （舍）
�。�2）
∴ （舍）
4. 解：
（1）先排乙有2種方法，再排其余5位同學有 種排法。
�。�4） 種排法。
�。�5） 種排法。
�。�6）7個學生的所有排列中，3名女生交換順序得到的排列只對應(yīng)一個符合題意的排隊方式，故共有 種排法。
邏輯學悖論－－徽章和涂寫
M：頒發(fā)一枚勛章，勛章上寫著：
禁止授勛！
M：或者涂寫一個告示：
不準涂寫！
學生們知道為什么這些敘述是矛盾的嗎？它們均違背了它們自己所提出的要求。學生們一定愿意編出其他的例子，比如在緩沖器的連結(jié)桿上寫“除去緩沖器連結(jié)桿”，一個招牌上寫：“不許讀這個招牌”，等等�！獋�單身漢宣稱，只有漂亮得不愿嫁給他的姑娘，他才想要。一個人拒絕加入一切愿吸收他為成員的俱樂部�！獋�小女孩說，她很高興她討厭吃菜花，因為要是她喜歡的話，就會吃得太多，結(jié)果她就不能老吃到菜花了。更為接近說謊者悖論的是下面這種自相矛盾的話 “一切規(guī)則都有例外”和“所有知識都值得懷疑�！�
高考數(shù)學復習：從90分提高到135分的方法
數(shù)學成績90分，只相當于百分制的及格，從歷年高考看，無論文科還是理科這個成績都很困難。但是，把數(shù)學成績從90分提高到135分并不是很難，那為什么很多考生直到高考結(jié)束還不能有所突破，究其原因可歸納為：內(nèi)在自信缺乏，外來方法欠佳。
“自信”和“方法”相輔相成。沒有“自信”，好方法將打折扣；沒有“方法”，很難建立自信。實際教學中方法更重要，方法是得高分的保障。好的方法很多，這里介紹一種適用范圍廣、見效明顯的方法，正是這種方法使多個學生成績從90分以下提升到135分以上，希望能使更多的考生明顯提高數(shù)學成績。
第一部分：學習的方法
一·預(yù)習是聰明的選擇
最好老師指定預(yù)習內(nèi)容，每天不超過十分鐘，預(yù)習的目的就是強制記憶基本概念。
二·基本概念是根本
基本概念要一個字一個字理解并記憶，要準確掌握基本概念的內(nèi)涵外延。只有思維鉆進去才能了解內(nèi)涵，思維要發(fā)散才能了解外延。只有概念過關(guān)，作題才能又快又準。
三·作業(yè)可鞏固所學知識
作業(yè)一定要認真做，不要為節(jié)約時間省步驟，作業(yè)不要自檢，全面暴露存在的問題是好事。
四·難題要獨立完成
想得高分一定要過難題關(guān)，難題的關(guān)鍵是學會三種語言的熟練轉(zhuǎn)換。（文字語言、符號語言、圖形語言）
第二部分：復習的方法
五·加倍遞減訓練法
通過訓練，從心理上、精力上、準確度上逐漸調(diào)整到考試的最佳狀態(tài)，該訓練一定要在專業(yè)人員指導下進行，否則達不到效果。
六·考前不要做新題
考前找到你近期做過的試卷，把錯的題重做一遍，這才是有的放矢的復習方法。
第三部分：考試的方法
七·良好心態(tài)
考生要自信，要有客觀的考試目標。追求正常發(fā)揮，而不要期望自己超長表現(xiàn)，這樣心態(tài)會放的很平和。沉著冷靜的同時也要適度緊張，要使大腦處于最佳活躍狀態(tài)
八·考試從審題開始
審題要避免“猜”、“漏”兩種不良習慣，為此審題要從字到詞再到句。
九·學會使用演算紙
要把演算紙看成是試卷的一部分，要工整有序，為了方便檢查要寫上題號。
十·正確對待難題
難題是用來拉開分數(shù)的，不管你水平高低，都應(yīng)該學會繞開難題最后做，不要被難題搞亂思緒，只有這樣才能保證無論什么考試，你都能排前幾名。
函數(shù)的概念達標練習
1．下列說法中正確的為( )
A．y＝f(x)與y＝f(t)表示同一個函數(shù)
B．y＝f(x)與y＝f(x＋1)不可能是同一函數(shù)
C．f(x)＝1與f(x)＝x0表示同一函數(shù)
D．定義域和值域都相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)
解析：選A.兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)與所取的字母無關(guān)，判斷兩個函數(shù)是否相同，主要看這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否相同．
2．下列函數(shù)完全相同的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝x，g(x)＝x2
C．f(x)＝x，g(x)＝x2x
D．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3
解析：選B.A、C、D的定義域均不同．
3．函數(shù)y＝1－x＋x的定義域是( )
A．{xx≤1} B．{xx≥0}
C．{xx≥1或x≤0} D．{x0≤x≤1}
解析：選D.由1－x≥0x≥0，得0≤x≤1.
4．圖中(1)(2)(3)(4)四個圖象各表示兩個變量x，y的對應(yīng)關(guān)系，其中表示y是x的函數(shù)關(guān)系的有________．
解析：由函數(shù)定義可知，任意作一條直線x＝a，則與函數(shù)的圖象至多有一個交點，對于本題而言，當－1≤a≤1時，直線x＝a與函數(shù)的圖象僅有一個交點，當a＞1或a＜－1時，直線x＝a與函數(shù)的圖象沒有交點．從而表示y是x的函數(shù)關(guān)系的有(2)(3)．
答案：(2)(3)
1．函數(shù)y＝1x的定義域是( )
A．R B．{0}
C．{xx∈R，且x≠0} D．{xx≠1}
解析：選C.要使1x有意義，必有x≠0，即y＝1x的定義域為{xx∈R，且x≠0}．
2．下列式子中不能表示函數(shù)y＝f(x)的是( )
A．x＝y(tǒng)2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝y(tǒng)
解析：選A.一個x對應(yīng)的y值不唯一．
3．下列說法正確的是( )
A．函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應(yīng)
B．函數(shù)的定義域和值域可以是空集
C．函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集
D．函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也就確定了
解析：選C.根據(jù)從集合A到集合B函數(shù)的定義可知，強調(diào)A中元素的任意性和B中對應(yīng)元素的唯一性，所以A中的多個元素可以對應(yīng)B中的同一個元素，從而選項A錯誤；同樣由函數(shù)定義可知，A、B集合都是非空數(shù)集，故選項B錯誤；選項C正確；對于選項D，可以舉例說明，如定義域、值域均為A＝{0,1}的函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系可以是x→x，x∈A，可以是x→x，x∈A，還可以是x→x2，x∈A.
4．下列集合A到集合B的對應(yīng)f是函數(shù)的是( )
A．A＝{－1 高中歷史,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)
D．A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對值
解析：選A.按照函數(shù)定義，選項B中集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項C中的元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)唯一函數(shù)值的要求；選項D中，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與其對應(yīng)，也不符合函數(shù)定義，只有選項A符合函數(shù)定義．
5．下列各組函數(shù)表示相等函數(shù)的是( )
A．y＝x2－3x－3與y＝x＋3(x≠3)
B．y＝x2－1與y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z
解析：選C.A、B與D對應(yīng)法則都不同．
6．設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，如果B＝{1,2}，則A∩B一定是( )
A． B．或{1}
C．{1} D．或{2}
解析：選B.由f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，如果B＝{1,2}，則A＝{－1,1，－2，2}或A＝{－1,1，－2}或A＝{－1,1，2}或A＝{－1，2，－2}或A＝{1，－2，2}或A＝{－1，－2}或A＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．所以A∩B＝或{1}．
7．若[a,3a－1]為一確定區(qū)間，則a的取值范圍是________．
解析：由題意3a－1＞a，則a＞12.
答案：(12，＋∞)
8．函數(shù)y＝x＋103－2x的定義域是________．
解析：要使函數(shù)有意義，
需滿足x＋1≠03－2x＞0，即x＜32且x≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，32)
9．函數(shù)y＝x2－2的定義域是{－1,0,1,2}，則其值域是________．
解析：當x�。�1,0,1,2時，
y＝－1，－2，－1,2，
故函數(shù)值域為{－1，－2,2}．
答案：{－1，－2,2}
10．求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝－x2x2－3x－2；(2)y＝34x＋83x－2.
解：(1)要使y＝－x2x2－3x－2有意義，則必須
�。瓁≥0，2x2－3x－2≠0，解得x≤0且x≠－12，
故所求函數(shù)的定義域為{xx≤0，且x≠－12}．
(2)要使y＝34x＋83x－2有意義，則必須3x－2＞0，即x＞23， 故所求函數(shù)的定義域為{xx＞23}．
11．已知f(x)＝11＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
解：(1)∵f(x)＝11＋x，
∴f(2)＝11＋2＝13，
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.
12．已知函數(shù)y＝ax＋1(a＜0且a為常數(shù))在區(qū)間(－∞，1]上有意義，求實數(shù)a的取值范圍．
解：函數(shù)y＝ax＋1(a＜0且a為常數(shù))．
∵ax＋1≥0，a＜0，∴x≤－1a，
即函數(shù)的定義域為(－∞，－1a]．
∵函數(shù)在區(qū)間(－∞，1]上有意義，
∴(－∞，1](－∞，－1a]，
∴－1a≥1，而a＜0，∴－1≤a＜0.
即a的取值范圍是[－1,0)．
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