《1.2 應(yīng)用舉例》測試題及答案參考
《1.2 應(yīng)用舉例（2）》測試題
一、選擇題
1.有一長為米的斜坡，它的坡度為，公路建設(shè)部門根據(jù)要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變?yōu)�，則坡底將伸長( ).
A.米 B. 米 C. 米 D. 米
考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應(yīng)用.
答案：D.
解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長. 根據(jù)題意可知，，，，根據(jù)正弦定理得，∴.
2.(2010北京文)某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ).
A. B.
C. D.
考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關(guān)系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.
答案：A.
解析：根據(jù)已知條件，四個等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關(guān)系得正方形的邊長為，所以該八邊形的面積為 .
3.(由2009浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，且滿足，若．則的面積為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角形面積公式、向量的數(shù)量積以及運算求解能力.
答案：C.
解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.
二、填空題
4.(2011上海理)在相距2千米的兩點處測量目標(biāo)，若，，則兩點之間的距離是 千米.
考查目的：考查三角形內(nèi)角和定理、正弦定理的應(yīng)用.
答案：.
解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.
5.三角形的一邊長為，這條邊所對的角為，另兩邊之比為，則這個三角形的面積為 .
考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.
答案：.
解析：不妨設(shè)的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯(lián)立解得，，∴.
6.我艦在島南偏西方向相距的處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時的速度航行，若我艦要用小時追上敵艦，則我艦追擊的速度為 ，方向為 (精確到).
考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應(yīng)用.
答案：小時，北偏東.
解析：設(shè)我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據(jù)余弦定理得，，∴.設(shè)我艦追擊的方向為北偏東角度，由正弦定理得，，∴，故.
三、解答題：
7.(2008上海)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形．小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點及點處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(精確到1米)．
考查目的：考查利用余弦定理解決實際問題的能力以及運算求解能力.
答案：米
解析：(方法一)設(shè)該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).
(方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).
8.在中，的對邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.
考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì)以及運算求解能力.
答案：.
解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.
數(shù)學(xué)的三次危機——第一次數(shù)學(xué)危機
從哲學(xué)上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負(fù)、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)等等。在整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。
在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。當(dāng)矛盾激化到涉及整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時，就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機。而危機的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。
數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機。
一、第一次數(shù)學(xué)危機
從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來源予古希臘畢達哥拉斯學(xué)派。它是一個唯心主義學(xué)派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認(rèn)為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實的世界，數(shù)學(xué)的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗。
整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對于進行實際量度是足夠的。
有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個點。
古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對應(yīng)這樣的點，并且因為這些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機。首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。
“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時間，他們費了很大的精力將此事保密，不準(zhǔn)外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨予以了證明。隨著時間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實。
誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機的一個間接因素是之后“芝諾悖論”的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔(dān)憂：數(shù)學(xué)作為一門精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？
在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。
第一次數(shù)學(xué)危機表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機的自然產(chǎn)物。
回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實際出發(fā)，應(yīng)用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預(yù)測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命，也就繼續(xù)走著以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數(shù)學(xué)危機的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻。
但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。
高考數(shù)學(xué)沖刺指導(dǎo)：數(shù)列問題
摘要：為大家?guī)砀呖紨?shù)學(xué)沖刺指導(dǎo)，希望大家喜歡下文!
近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面;(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。(2)數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。(3)數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。
知識整合
1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題;
2.在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，
進一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力。
3.培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.
總結(jié)：高考數(shù)學(xué)沖刺指導(dǎo)就介紹到這里了，希望能幫助同學(xué)們更好的復(fù)習(xí)本門課程，更多精彩學(xué)習(xí)內(nèi)容請繼續(xù)關(guān)注!
數(shù)學(xué)的三次危機——第二次數(shù)學(xué)危機
二、第二次數(shù)學(xué)危機
十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發(fā)生也帶有必然性。
這次危機的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時空的有限與無限的四個悖論：
“兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點，然而要經(jīng)過這點，又必須先經(jīng)過路程的1/4點……，如此類推以至無窮�！Y(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。
“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜?shù)某霭l(fā)點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。
“飛矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀態(tài)。
“操場或旅游隊伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。
芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個悖論詰難了關(guān)于時間和空間無限可分，因而運動是連續(xù)的觀點，后兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數(shù)學(xué)的，但是它們在數(shù)學(xué)王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。
經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由于運算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時解決問題的重要工具。同時，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。關(guān)鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達一個半世紀(jì)的爭論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機。
無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導(dǎo)致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。
英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)(導(dǎo)數(shù))“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會因吞食了神學(xué)論點就嘔吐的。”他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。貝克萊雖然也抓住了當(dāng)時微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學(xué)的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學(xué)的追求和探索。
當(dāng)時一些數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集�！痹谀莻�勇于創(chuàng)造時代的初期，科學(xué)中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象。
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等；符號的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。
直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些工作的基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的極限的定義，連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。
19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。
三角函數(shù)線
一、知識與技能
1. 會用三角函數(shù)線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值
2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；
3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題
二、過程與方法
1.借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力；
2.讓學(xué)生從所學(xué)知識基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.
三、情感、態(tài)度與價值觀
1.通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究獲取知識.
2.通過三角函數(shù)線學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，拓展思維空間
教學(xué)重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用
教學(xué)難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教學(xué)過程：
一、溫故而知新
1. 前面我們學(xué)習(xí)了利用單位圓定義三角函數(shù)，
復(fù)習(xí)：1單位圓的定義：圓心在圓點，半徑等于單位長的圓叫做單位圓。
2 三角函數(shù)的定義：如圖,設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:
(1)叫做的正弦(sine),記做,即；
(2)叫做的余弦(cossine),記做,即；
(3)叫做的正切(tangent),記做,即.
正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)
師：我們那么能否在此基礎(chǔ)上用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.
二、研探新知
(1)設(shè)角的'終邊與單位圓交于點P(x,y),過點P作x軸的垂線,垂足M,
用的三角函數(shù)表示點P的坐標(biāo) ;
線段OM的長度|OM|= ;
線段MP的長度|MP|= .
(利用幾何畫板演示,角的變化過程中,角的終邊和單位圓的交點坐標(biāo)的變化)
|MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|
(2)思考1:如何去掉上述等式中的絕對值符號,為此能否給線段OM,MP規(guī)定一個適當(dāng)?shù)姆较?使它們的取值與點P的坐標(biāo)一致?
2.有向線段
我們知道，直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).
當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時, 規(guī)定：
(1) 以為始點、為終點的線段：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負(fù)向，且有負(fù)值；其中為點的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有
(2)以為始點、為終點的線段，當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負(fù)向，且有負(fù)值；其中為點的縱坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有
像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段.
思考2:你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？
過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點.
(利用幾何畫板演示)
根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有
三、三角函數(shù)線
由上述四個圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段，
于是有
我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段分別稱為角的正弦線,余弦線,正切線.他們統(tǒng)稱三角函數(shù)線
幾點說明：
�、偃龡l有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
�、谌龡l有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。
�、廴龡l有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。
�、苋龡l有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。
思考1：角的終邊在x軸或y軸上時, 角的正弦線,余弦線,正切線是怎樣的?
思考2：觀察角的終邊在各位置的情形,分析三角函數(shù)線的變化情況？
四、師生共議，排難解惑，發(fā)展思維
例1.畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
�。�1）；； （2）．
學(xué)生練習(xí)：畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
�。�1） （2）
師：請大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法：
第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點；
第二步：過點作軸的垂線，設(shè)垂足為，得正弦線、余弦線；
第三步：過點(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為，得角的正切線.
特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方
向，分清起點和終點，書寫
五、三角函數(shù)線的應(yīng)用
例1. 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大�。�
(1) 與 ； (2) tan與tan ；(3)；
(4)已知，試比較的大小.
例2已知是第一象限角，證明sinα+ cosα＞1;
分析：作單位圓，正弦sina=MP;余弦cosa=OM OP=1
在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sinα+cosα＞1;
課后深入探究：
(1) 對任意角有，sin2 + cos2 = 1
(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,
例3利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合：
�。�1） （2） （3）
例3變式 利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合：
�。�1） ; （2）≤- .
分析：先作出滿足，的角的終邊，
然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.
六、變式練習(xí)，強化概念
變式1：利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合：
�。�1）； 高中物理 （2）； （3）tana （4）；
變式2：求下列函數(shù)的定義域：
（1） y = (2) y = lg(3－4sin2x) .
七.課堂小結(jié)
(1)了解有向線段的概念.
(2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦,余弦,正切函數(shù)值分別用正弦線,余弦線,正切線表示出來.
(3)用三角函數(shù)線理解三角函數(shù)的定義
�。�4）體會三角函數(shù)線的簡單應(yīng)用.
八、作業(yè)：
1課后練習(xí)第三題
2預(yù)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
教學(xué)后記：本節(jié)課容量較大，使用多媒體輔助教學(xué)，幾何畫板動畫演示功能正好可以幫助學(xué)生做數(shù)學(xué)試驗，探討數(shù)學(xué)問題。這樣充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，既豐富了三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識也有了相應(yīng)的提高。例3變式是一個教學(xué)難點，學(xué)生會遇到三個障礙，一是：兩個角的確定，二是從相等到不等式的過渡問題，三是角的集合的表示問題。教學(xué)時應(yīng)讓引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出解題方法和步驟 ，安排例3目的是為例3變式作鋪墊作用，同時也降低了知識的難度，讓其基礎(chǔ)差的學(xué)生也能學(xué)習(xí)和掌握知識。另外安排課后深入探究其目的為下節(jié)內(nèi)容作鋪墊作用。
《2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)》測試題
一、選擇題
1.下面命題中正確的是( )．
�、偃粢粋�平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；
�、谌粢粋�平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；
�、廴粢粋�平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行；
�、苋粢粋�平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行．
A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④
考查目的：考查平面與平面平行的判定.
答案：D.
解析：①②中兩個平面可以相交，③是兩個平面平行的定義，④是兩個平面平行的判定定理.
2.(2011浙江)若直線不平行于平面，且，則( )．
A.內(nèi)的所有直線與異面 B.內(nèi)不存在與平行的直線
C.內(nèi)存在唯一的直線與平行 D.內(nèi)的直線與都相交
考查目的：考查直線與平面的位置關(guān)系.
答案：B.
解析：如圖，在內(nèi)存在直線與相交，所以A不正確；若內(nèi)存在直線與平行，又∵，則∥，與題設(shè)相矛盾，∴B正確，C不正確；在內(nèi)不過與交點的直線與異面，D不正確.
3.(2012全國理)已知正四棱柱中 ，AB=2，，E為的中點，則直線與平面BED的距離為( )．
A.2 B. C. D.1
考查目的：考查直線與平面平行的性質(zhì).
答案：D．
解析：連結(jié)交于點，連結(jié)，∵是的中點，∴，且，∴∥平面，即直線 與平面BED的距離等于點C到平面BED的距離，過C做于，則即為所求距離. ∵底面邊長為2，高為，∴，，，利用等積法得.
二、填空題
4.平面∥平面，，，則直線，的位置關(guān)系是________.
考查目的：考查平面與平面平行的性質(zhì).
答案：平行或異面.
解析：直線與直線沒有公共點，所以直線與平行或異面.
5.在正方體中，E是的中點，則與平面ACE的位置關(guān)系為________.
考查目的：考查直線與平面平行的判定.
答案：平行.
解析：如圖，連接AC、BD交于O點，連結(jié)OE，∵OE∥，而OE?平面ACE， BD平面ACE，∴∥平面ACE.
6.(2011福建文)如圖，正方體中，AB=2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面，則線段EF的長度等于_____________.
考查目的：考查直線與平面平行的性質(zhì).
答案：.
解析：∵∥平面，平面，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理，得.又∵E為AD的中點，∴F是CD的中點，即EF為的中位線，∴.又∵正方體的棱長為2，∴，∴.
三、解答題
7.(2011天津改編)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，為的中點．求證：.
考查目的：考查直線與平面平行的判定.
解析：連接，.在平行四邊形中，∵為的中點，∴為的中點.又∵為的中點，∴.∵平面，?平面，∴.
8.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，，的中點，求證：
�、臖，C，H，G四點共面；⑵平面∥平面BCHG.
考查目的：考查平面與平面平行的判定．
答案：(略).
解析：⑴∵GH是的中位線，∴GH∥.又∵∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.
⑵∵E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵=EB且∥EB，∴四邊形是平行四邊形，∴∥GB.∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴∥平面BCHG.∵EF＝E，∴平面∥平面BCHG.
高中數(shù)學(xué)筆記誤區(qū)分析
俗話說：“好記性不如爛筆頭�！钡拇_，上課時把講的概念、公式和解題技巧記下來，把聽過或看過的重要信息清晰地保存下來，有利于減輕負(fù)擔(dān)，提高。但在實際中，不少同學(xué)忙于記筆記，沒有處理好聽、看、記和思的關(guān)系，顧此失彼，從而影響效果。這里，筆者僅就同學(xué)們在筆記中存在的幾種誤區(qū)進行分析，以幫助大家提高記筆記的。
誤區(qū)之一：筆記成了教學(xué)實錄
有的同學(xué)習(xí)慣于“教師講，自己記，復(fù)習(xí)背，模仿”的學(xué)習(xí)，一節(jié)課下來，他們的筆記往往記了幾頁紙，可以說是教材和教師板書的“映射”，成了教學(xué)實錄。這些同學(xué)過分依賴筆記，忽視的講解，忽視思考，以為講的沒有聽懂不要緊，只要課后認(rèn)真看筆記就可以了。殊不知，這樣做往往會忽視的一些精彩分析，使自己對的理解膚淺，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，學(xué)習(xí)效率反而降低，易形成惡性循環(huán)。一般來講，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，上課要以聽講和思考為主，并簡明扼要地把教師講的思路記下來，課本上敘述詳細(xì)的地方可以不記或略記。同時，要記下自己的疑問或閃光的思想。如老師講概念或公式時，主要記的發(fā)生背景、實例、分析思路、關(guān)鍵的推理步驟、重要結(jié)論和注意事項等；對復(fù)習(xí)講評課，重點要記解題策略(如審題、思路分析、最優(yōu)解法等)以及典型錯誤與原因剖析，總結(jié)過程，揭示解題規(guī)律。記筆記時，不要把筆記本記滿，要留有余地，以便課后反思、整理，這樣既可以提高效率，又有利于課后有針對性的復(fù)習(xí)，從而收到事半功倍的效果。
誤區(qū)之二：筆記本成了習(xí)題集
翻開一些同學(xué)的數(shù)學(xué)筆記本，可以說是大全以及一些解題技巧、一題多解之類的集錦，很少涉及知識點之間的聯(lián)系、思想方法的提煉及解題策略的整理，沒有自己的鉆研體驗，筆記本成了習(xí)題集。誠然，做題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本途徑，多積累一些習(xí)題也是必要的，但若一味做題抄
錄，不認(rèn)真領(lǐng)悟其中蘊含的重要數(shù)學(xué)思想和方法，是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。經(jīng)驗告訴我們，少量典型習(xí)題及其解法的確要記在筆記本上，但不能就題論題，而是要把重點放在習(xí)題價值的挖掘上，即注意寫好解題評注。這就好比安裝在高速公路兩旁的路標(biāo)，它們會提醒你何時減速，何時急轉(zhuǎn)彎，何時遇到岔路口等。解題也是如此，易錯之處或重要的解題思想，要用簡短精煉的詞語作為評注，把閃光的智慧用筆頭記下來，這對積累經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。隔一段時間后，再把它們拿出來推敲一番，往往會溫故知新�？傊P記應(yīng)成為自己研究數(shù)學(xué)的心得，指引學(xué)習(xí)前進方向的路標(biāo)。
誤區(qū)之三：筆記本成了過期“期刊”
有些同學(xué)的筆記本好比過期期刊，時間一長就棄于一旁，沒有發(fā)揮它應(yīng)有的作用，實在可惜。事實上，許多高考優(yōu)勝者的經(jīng)驗之一就是使自己的筆記成為個人的“學(xué)習(xí)檔案”和最重要的復(fù)習(xí)。因為，好的筆記是課本知識的濃縮、補充和深化，是思維過程的展現(xiàn)與提煉。合理利用筆記可以節(jié)省時間，突出重點、提高效率。當(dāng)然，還要經(jīng)常對筆記進行階段性整理和補充，建立有個性的學(xué)習(xí)體系。如可以分類建立“錯題集”，整理每次練習(xí)和考試中出現(xiàn)的錯誤，并作剖析；還可以將筆記整理為“妙題巧解”、“方法點評”、“易錯題”等類別。只要這樣堅持做下去，不斷擴大成果，就能克服“盲點”，走出&ldquo 高二;誤區(qū)”，到了緊張的綜合復(fù)習(xí)階段，就會顯得輕松、有序，還可以騰出更多的精力和時間，把所學(xué)知識系統(tǒng)化、信息化。
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