北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)專題講解--列方程解應(yīng)用題
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，列方程解應(yīng)用題是難點(diǎn)。這一部分內(nèi)容融入了等式的性質(zhì)，利用四則運(yùn)算各部分的關(guān)系，有助于對所學(xué)的算術(shù)知識進(jìn)行鞏固和加深理解，初步滲透代數(shù)的思想，然而在這一部分教學(xué)中存在一定的難點(diǎn)。
一、審清題意：
審題，理解題意。即全面分析題目中的已知量、未知量及二者之間的關(guān)系。特別要把牽涉到的一些概念術(shù)語弄清，如同向，相向，增加到，增加了等。
二、確立未知數(shù)：
即用x表示所求的數(shù)量或有關(guān)的未知量。若題中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，則找出他們之間數(shù)量關(guān)系，用含有x的式子分別將它們表示出來；
三、尋找等量關(guān)系：
“含有未知數(shù)的等式稱為方程”因而是“等式”是列方程比不可少的條件。所以尋找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。常見的等量關(guān)系有以下幾種：
1、總量相等；2、成倍數(shù)相等；3、按公式相等；
小學(xué)常用數(shù)量關(guān)系總結(jié)：
【行程問題】 速度×?xí)r間=路程
① 合作行程：速度和×?xí)r間=路程和
甲的路程+乙的路程=總路程
甲的速度×甲的時(shí)間+乙的速度×乙的時(shí)間=總路程
（注意：總路程是指已經(jīng)行走的路程，未走的路程要扣除）
② 追及行程：速度差×?xí)r間=路程差
甲的路程-乙的路程=路程差
甲的速度×甲的時(shí)間-乙的速度×乙的時(shí)間=路程差
（注意：路程差是指二者相差的路程，分為先天形成和后天形成兩種）
③ 流水行船：順流速度=靜水速度+水流速度
逆流速度=靜水速度-水流速度
（靜水速度是指船在不受外力影響的作用下，由船本身決定的速度，一般不會(huì)改變）
【工程問題】 工作效率×工作時(shí)間=工作總量
① 合作工程：工作效率和×工作時(shí)間=工作總量和
甲的工作總量+乙的工作總量=總的工作總量
甲的工作效率×甲的工作時(shí)間+乙的工作效率×乙的工作時(shí)間=總的工作總量
（注意：總的工作總量是指已經(jīng)完成的工作，未完成的工作要扣除）
② 追及工程：工作效率差×工作時(shí)間=工作總量差
甲的工作總量-乙的工作總量=工作總量差
甲的工作效率×甲的工作時(shí)間-乙的工作效率×乙的工作時(shí)間=工作總量差
（注意：工作總量差是指二者相差的工作量，分為先天形成和后天形成兩種）
【商品問題】 單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)
售價(jià)-成本=利潤
利潤÷成本-利潤率
【植樹問題】（一）在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。
1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。
2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數(shù)和要分的段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。
3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數(shù)比要分的段數(shù)少1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)－1。
（二）在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。
（三）在正方形線路上植樹，如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)－1）×邊數(shù)。
【雞兔同籠問題】雞的頭+兔的頭=總頭數(shù)
雞的腳+兔的腳=總腳數(shù)
【圖形問題】
圖形 周長 面積 體積
正方形 C正=4 a S正 =a2
長方形 C長=2（a+b） S長=ab
平行四邊形 S平行四邊形=ah
三角形 S三角形=ah÷2
梯形 S梯=（a+b）h ÷2
正方體 S正=6a2 V正=a3
長方體 S長=2（ab+ac+bc） V長=abc
圓柱 S圓柱=2S底+S側(cè)=2πr2+Ch=2πr2+2πrh V圓柱=S底h=πr2h
圓錐 V圓錐=1/3V圓柱=1/3S底h=1/3πr2h
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
（一）根據(jù)題意把方程補(bǔ)充完整：
1、三角形的面積是25.6平方厘米，高是6.4厘米，底邊長x厘米。
=25.6
2、一個(gè)圓錐的體積是25.12立方分米，它的底面半徑是x分米，高是6分米。
= 25.12
3、李娟同學(xué)買了2支圓珠筆與3本練習(xí)本，共付7.2元，每本練習(xí)本X元，每本練習(xí)本Y元。
=7.2
4、水果店運(yùn)來蘋果420千克，每25千克裝一箱，裝了x箱后還剩下20千克。
=20
5、洗衣機(jī)廠今年每日生產(chǎn)洗衣機(jī)260臺，比去年平均日產(chǎn)量的2.5倍少40臺，去年平均日產(chǎn)洗衣機(jī)多少臺?
解：設(shè) 。
6、用一根鐵絲可以圍成一個(gè)邊長是4厘米的正方形,還用這根鐵絲，圍成一個(gè)寬是2厘米的長方形,這個(gè)長方形的長是多少厘米？
解：設(shè) 。
7、兩艘貨船同時(shí)從一個(gè)碼頭出發(fā)，各往東西方向行駛。甲船每小時(shí)行駛30千米，乙船每小時(shí)行駛42千米，航行幾小時(shí)后兩輪船相距252千米？
解：設(shè) 。
（二）列方程解應(yīng)用題：
1、某建筑隊(duì)修筑一段公路，原計(jì)劃每天修56米，15天完成，實(shí)際上每天多修4米，實(shí)際用了幾天？
2、兩個(gè)車間共有150人，如果從一車間調(diào)出50人，這時(shí)一車間人數(shù)是二車間的 ，二車間原有多少人？
3、甲筐蘋果的重量是乙筐的3倍。如果從甲筐取出20千克放入乙筐，那么兩筐蘋果的重量就相等。兩筐原來各有蘋果多少千克？
4、師徒二人共加工208個(gè)零件，師傅加工的零件數(shù)比徒弟的2倍還多4個(gè)。師傅加工了多少個(gè)零件？
5、新江縣新開通的公共汽車實(shí)行兩種票制，普通車票每張2元，通票每張5元。有一天售票員統(tǒng)計(jì)車票收入時(shí)，發(fā)現(xiàn)這天共有乘客880人，通票收入比普通車票收入多1740元。問這天購買通票的有多少人？
6、蘋果、梨、桔子三種水果共100千克，其中蘋果的重量是梨的3倍，桔子的重量比梨的一半少8千克，其中有桔子多少千克？
7、張師傅加工一批零件，原打算每天做50個(gè)，為了提早10天完成，他把效率提高，每天做75個(gè)。這批零件一共有多少個(gè)？
8、 運(yùn)送29.5噸煤，先用一輛載重4噸的汽車運(yùn)3次，剩下的用一輛載重為2.5噸的貨車運(yùn)。還要運(yùn)幾次才能運(yùn)完？
常見的列方程解應(yīng)用題問題
【行程問題】
1、甲乙兩車從相距272千米的兩地同時(shí)相向而行，3小時(shí)后兩車還相隔17千米。甲每小時(shí)行45千米，乙每小時(shí)行多少千米？
2、甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)向相反方向行走，3.5小時(shí)后兩人相距38.5千米。甲每小時(shí)行走5千米，乙每小時(shí)行走多少千米？
3、兩地相距660千米，甲車每小時(shí)行32千米，乙車每小時(shí)行34千米，兩車分別從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過幾小時(shí)相遇？
4、小東、小英同時(shí)從某地相背而行，小東每分鐘走50米，小英每分鐘走45米，經(jīng)過多少分鐘兩人相距285米？
5、兩列火車同時(shí)從甲、乙兩城相對開出，慢車每小時(shí)行60千米，快車每小時(shí)行80千米，兩城相距770千米，兩車開出幾小時(shí)后還相距210千米？
6、甲、乙兩地相距480千米，客車、貨車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，客車每小時(shí)行70千米，貨車每小時(shí)行50千米，相遇時(shí)，兩車各行了多少千米？
7、一輛轎車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地相向而行，兩地相距500千米，摩托車上午8點(diǎn)出發(fā)，每小時(shí)行40千米，轎車上午10點(diǎn)出發(fā)，每小時(shí)行60千米，問幾點(diǎn)兩車可以相遇？
8、兩地相距400米，兩人從兩地同時(shí)出發(fā)向相反的方向而行，5分鐘后兩人相距960米，甲每分鐘走50米，乙每分鐘走多少米？
9、一列快車和一列慢車同時(shí)分別從相距630千米的兩地同向開出，4.5小時(shí)快車追上慢車，快車每小時(shí)行78千米，慢車每小時(shí)行多少千米？
10、甲乙兩輛汽車同時(shí)從相距300千米的兩地同向行駛，4小時(shí)后甲車追上乙車，已知甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行多少千米？
11、甲、乙兩車同時(shí)從兩地相向開出，甲車每小時(shí)行50千米，經(jīng)過3小時(shí)已駛過中點(diǎn)30千米，此時(shí)甲車與乙車還相距6千米，求乙車每小時(shí)行多少千米？
12、甲乙兩列火車同時(shí)從某地相對開出，經(jīng)過8小時(shí)相遇，已知甲火車每小時(shí)行85千米，相遇時(shí)，甲比乙多行了240千米，求乙火車的速度是多少千米？
13、一只小船要行216千米的路程，逆水航行需要12小時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，求船速和水速各是多少千米？
14、一只貨船順?biāo)?00千米的航程用20小時(shí)，已知水速為每小時(shí)4千米，如果逆水返回需要多少小時(shí)？
15、順?biāo)写?小時(shí)行36千米，已知船在靜水中的速度是每小時(shí)7千米，求逆水行船返回出發(fā)地點(diǎn)要多少小時(shí)？
16、兩碼頭相距540千米，一貨船順?biāo)腥绦?小時(shí)，逆水行全程需要4小時(shí)，這貨船順?biāo)饶嫠啃r(shí)快多少千米？
17、逆水行船9小時(shí)行44千米，已知水速是每小時(shí)3千米，問這只船順?biāo)?30千米的路程用多少小時(shí)？
18、有甲、乙兩只船航行于720千米的江河中，甲船逆水行全程需要36小時(shí)，乙船逆水行全程用30小時(shí)，甲船順?biāo)腥逃?0小時(shí)，乙船順?biāo)腥處仔r(shí)走完？
19、一只船從甲地到乙地，逆水每小時(shí)行48千米，順?biāo)祷兀饶嫠崆?小時(shí)到達(dá)。已知水流速度為每小時(shí)6千米，求甲、乙兩地的距離。
20、甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度。
21、某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時(shí)，水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？
22、甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？
【工程問題】
1、師徒兩人在15天中共完成465個(gè)零件。師傅每天制造18個(gè)，師傅每天完成的件數(shù)比徒弟多多少個(gè)？
2、甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同開鑿一具隧道。15天共開鑿了2070米，甲隊(duì)每天開鑿65米，乙隊(duì)每天開鑿多少米？
3、甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同開鑿一個(gè)隧道。開鑿了15天，甲隊(duì)比乙隊(duì)少開鑿了120米，甲隊(duì)每天開鑿65米，乙隊(duì)每天開鑿多少米？
4、甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同開鑿一個(gè)隧道。甲隊(duì)每天開鑿65米，乙隊(duì)每天開鑿73米，鋪了多少天后，甲隊(duì)比乙隊(duì)少鋪120米？
【商品問題】
1、5個(gè)足球比5個(gè)排球貴62.5元，已知每個(gè)排球52.5元，每個(gè)足球多少元？
2、一只足球46.8元，比一只排球價(jià)錢的3倍少1.2元，一只排球的價(jià)錢是多少元？
3、學(xué)校買了18個(gè)籃球和20個(gè)足球，共付了490元，每個(gè)籃球14元，每個(gè)足球多少元？
【平均數(shù)問題】
1、某校六年級有兩個(gè)班，上學(xué)期級數(shù)學(xué)平均成績是85分。已知六（1）班40人，平均成績?yōu)?7.1分；六（2）班有42人，平均成績是多少分？
2、某學(xué)校五年級有兩個(gè)班，半期考試平均分為90分。已知五年一班有45人，平均分89分，五年二班平均分91分，問五年二班有多少人？
【雞兔同籠問題】
1、王老師圓珠筆和鋼筆共買了15支，圓珠筆每支1.5元，鋼筆每支4.5元，共花了49.5元，圓珠和鋼筆各買了幾支？
2、小剛買回8分郵票和4分郵票共100張，共付出6.8元，問，小剛買回這兩種郵票個(gè)多少張？各付出多少元？
3、鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜各有多少只？
4、大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個(gè)瓶子。問大小油瓶各多少個(gè)？
5、班主任張老師帶五年級（2）班50名同學(xué)栽樹，張老師栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，總共栽樹120棵，問幾名男生，幾名女生？
【圖形問題】
1、王大爺準(zhǔn)備用400米長的柵欄圍一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，如果長是寬的3倍，這個(gè)養(yǎng)雞場的長和寬各是多少米？
2、王大爺準(zhǔn)備用400米長的柵欄圍一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，如果長比寬多80米，這個(gè)養(yǎng)雞場的長和寬各是多少米？
3、把一塊長31.4厘米，寬20厘米，高4厘米的長方體鋼坯熔化后燒鑄成底面半徑是4厘米的圓柱體。圓柱體的高是多少厘米?
4、某學(xué)校有一梯形方隊(duì)，已知第一排有25人，最后一排有55人，整個(gè)方隊(duì)有400人，問這個(gè)反對有多少排？
5、已知一長方體的表面積是1562平方米，長為25米，寬為13米，求此場、長方體的高為多少米？
列方程解應(yīng)用題常見錯(cuò)例評析
一、把算術(shù)解法當(dāng)作方程解法的錯(cuò)誤
例1 兩袋大米，甲袋重65千克，乙袋重45千克，要使兩袋大米的重量相等，應(yīng)從甲袋里取出多少千克放入乙袋？（用方程解）
錯(cuò)解 設(shè)應(yīng)從甲袋里取出大米x千克放入乙袋，根據(jù)題意列方程：x＝（65－45）÷2， x=20÷2，x＝10。
分析 以上計(jì)算并無錯(cuò)誤，但不符合利用方程求解的意義和要求。這種解法雖然也含有未知數(shù)，但實(shí)際上是一種算術(shù)方法。糾正的方法是把未知數(shù)設(shè)為x，暫時(shí)把未知條件當(dāng)成已知條件，使未知條件與已知條件處于同等的地位，然后找出等量關(guān)系列方程。這樣做比起用算術(shù)方法解容易得多。
正確解法：設(shè)從甲袋取出x千克大米放入乙袋，根據(jù)題意列方程：
65-x=45＋x，65-2x＝45，2x＝65-45，x＝10
答：應(yīng)從甲袋取出大米10千克。
評點(diǎn) 本題主要考查同學(xué)們對簡易方程基本知識的掌握程度，以及運(yùn)用“等量”關(guān)系列方程和解方程的基本技能。有的同學(xué)由于受算術(shù)方法解應(yīng)用題的思維定勢的影響，所以會(huì)出現(xiàn)上面的錯(cuò)誤解法。
二、等量關(guān)系的錯(cuò)誤
例2 學(xué)校分蘋果，五年級老師分50千克，比四年級老師分的2倍少2千克。四年級老師分多少千克？
錯(cuò)解 設(shè)四年級老師分x千克，列方程得：
2x+2＝50，2x=48，x＝24。
分析 本題在列方程時(shí)把等量關(guān)系弄錯(cuò)了，誤認(rèn)為四年級老師的2倍加上2千克就等于五年級老師分的。
正確解法：設(shè)四年級老師分x千克。
2x-2＝50，2x＝52，x=26。
答：四年級老師分26千克。
三、單位不統(tǒng)一的錯(cuò)誤
例3梯形的面積是24平方厘米，高為4厘米，下底比上底多0.6分米，求梯形的上底。（用方程解，注：梯形面積=（上底+下底）×高÷2）
錯(cuò)解1 設(shè)梯形的上底是x分米 （x＋x＋0.6）×4÷2=24，2x＋0.6＝12，2x=11.4，x＝5.7。
答：梯形的上底是5.7分米。
錯(cuò)解2設(shè)梯形的上底是x厘米，
（x＋x＋0.6）×4÷2＝24，2x＋0.6=12，
2x＝11.4， x＝5.7。
答：梯形的上底是5.7厘米。
分析此題錯(cuò)在沒有統(tǒng)一題中各個(gè)量的單位。題中告訴的面積單位為平方厘米，高是厘米，下底卻是分米，如果不加以統(tǒng)一，所列出的就不是等式，也就不能恒等變形。所以我們在列方程時(shí)首先要將題中的單位統(tǒng)一起來。
正確解法：0.6分米=6厘米
設(shè)梯形的上底是x厘米
（x＋x＋6）×4÷2＝24，2 x＋6=12，
2 x＝6，x＝3。
答：梯形的上底是3厘米。
四、設(shè)句不寫單位名稱的錯(cuò)誤
例4糧倉要運(yùn)進(jìn)250噸糧食，已經(jīng)運(yùn)了8天，每天運(yùn)進(jìn)18噸，余下的要4天運(yùn)完。平均每天要運(yùn)進(jìn)多少噸？
錯(cuò)解設(shè)平均每天要運(yùn)進(jìn)x，根據(jù)題意列方程：
18×8+4 x＝250，144+4 x＝250，
4 x＝250－144，4 x＝106，x＝26.5。
答：平均每天運(yùn)進(jìn)26.5噸。
分析此題錯(cuò)在所設(shè)未知數(shù)不帶單位名稱，致使其在等式中代數(shù)量意義不明確，從而導(dǎo)致錯(cuò)解。正確的應(yīng)設(shè)平均每天要運(yùn)進(jìn)x噸，否則不能認(rèn)定該等式成立。
五、求得的值帶上單位名稱的錯(cuò)誤
例5某站運(yùn)來3車黃瓜和6車芹菜，共重2 580千克，每車黃瓜重260千克。每車芹菜重多少千克？
錯(cuò)解 設(shè)每車芹菜重x千克，列方程得：
260×3+6x=2580，780+6x=2 580。
6 x =2580－780，6 x＝1800，x =300（千克）。
答：每車芹菜重300千克。
分析 此題錯(cuò)在最后求得的x值帶上了單位名稱，這是不符合解方程的要求的。造成這一錯(cuò)誤有兩個(gè)原因：一方面受算術(shù)方法解題的影響；另一方面是對解方程的概念不甚明了。方程是一種等式，方程兩邊無論是數(shù)還是量都是相等的，因此兩邊的單位名稱可同時(shí)約去。求方程解的過程就成了數(shù)的恒等變形的過程，最后的結(jié)果是沒有單位名稱的，只需要在答句中把單位名稱寫清楚就行。