直線的平行與垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

時(shí)間：2024-09-24 01:03:34

兩條直線的平行與垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

兩條直線的平行與垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

兩條直線的平行與垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　(一)知識(shí)教學(xué)

　　理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直.

　　(二)能力訓(xùn)練

　　通過(guò)探究?jī)芍本€平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解決新問(wèn)題的能力, 以及數(shù)形結(jié)合能力．

　　(三)學(xué)科滲透

　　通過(guò)對(duì)兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識(shí)，合作交流的學(xué)習(xí)方式,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

　　重點(diǎn)：兩條直線平行和垂直的條件是重點(diǎn)，要求學(xué)生能熟練掌握，并靈活運(yùn)用．

　　難點(diǎn)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生, 把研究?jī)蓷l直線的平行或垂直問(wèn)題, 轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線的斜率的關(guān)系問(wèn)題．

　　注意：對(duì)于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況, 在課堂上老師應(yīng)提醒學(xué)生注意解決好這個(gè)問(wèn)題．

　　教學(xué)過(guò)程

　　(一)先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直

　　上一節(jié)課, 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用傾斜角和斜率來(lái)表示直線相對(duì)于x軸的傾斜程度, 并推導(dǎo)出了斜率的坐標(biāo)計(jì)算公式. 現(xiàn)在, 我們來(lái)研究能否通過(guò)兩條直線的斜率來(lái)判斷兩條直線的平行或垂直．

　　討論: 兩條直線中有一條直線沒(méi)有斜率, (1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí)，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．

　　(二)兩條直線的斜率都存在時(shí), 兩直線的平行與垂直

　　設(shè)直線 L1和L2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的, 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問(wèn)題是: 兩條互相平行或垂直的直線, 它們的斜率有什么關(guān)系?

　　首先研究?jī)蓷l直線互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助計(jì)算機(jī), 讓學(xué)生通過(guò)度量, 感知α1, α2的關(guān)系)

　　∴tgα1=tgα2．

　　即 k1=k2．

　　反過(guò)來(lái)，如果兩條直線的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

　　由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，

　　∴α1=α2．

　　又∵兩條直線不重合，

　　∴L1∥L2．

　　結(jié)論: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

　　注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之則不一定.

　　下面我們研究?jī)蓷l直線垂直的情形．

　　如果L1⊥L2，這時(shí)α1≠α2，否則兩直線平行．

　　設(shè)α2＜α1(圖1-30)，甲圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸上，無(wú)論哪種情況下都有

　　α1=90°+α2．

　　因?yàn)長(zhǎng)1、L2的斜率分別是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

　　可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．

　　結(jié)論: 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

　　注意: 結(jié)論成立的條件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之則不一定.

　　(借助計(jì)算機(jī), 讓學(xué)生通過(guò)度量, 感知k1, k2的關(guān)系, 并使L1(或L2)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái), 但仍保持L1⊥L2, 觀察k1, k2的關(guān)系, 得到猜想, 再加以驗(yàn)證. 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 可使α1為銳角,鈍角等).

　　例題

　　例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 試判斷直線BA與PQ的位置關(guān)系, 并證明你的結(jié)論.

　　分析: 借助計(jì)算機(jī)作圖, 通過(guò)觀察猜想:BA∥PQ, 再通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證.(圖略)

　　解: 直線BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

　　直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

　　因?yàn)?k1=k2=0.5, 所以直線BA∥PQ.

　　例2 已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明. (借助計(jì)算機(jī)作圖, 通過(guò)觀察猜想: 四邊形ABCD是平行四邊形,再通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證)

　　解同上.

　　例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.

　　例4

　　解: 直線AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,

　　直線PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,

　　因?yàn)?k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

　　例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 試判斷三角形ABC的形狀.

　　分析: 借助計(jì)算機(jī)作圖, 通過(guò)觀察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證.(圖略)

　　課堂練習(xí)

　　P94 練習(xí) 1. 2.

　　課后小結(jié)

　　(1)兩條直線平行或垂直的真實(shí)等價(jià)條件；(2)應(yīng)用條件, 判定兩條直線平行或垂直.