圓與方程數(shù)學(xué)教案
作為一位無私奉獻(xiàn)的人民教師，時常會需要準(zhǔn)備好教案，編寫教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。教案應(yīng)該怎么寫才好呢？下面是小編收集整理的圓與方程數(shù)學(xué)教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
本章在“第三章 直線與方程”的基礎(chǔ)上，在直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，并通過圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。
在直角坐標(biāo)系中，建立幾何對象的方程，并通過方程研究幾何對象，這是研究幾何問題的重要方法。通過坐標(biāo)系，把點與坐標(biāo)、曲線與方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合。
一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章主要內(nèi)容是在直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，并通過圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。
2．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。
3．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
4．進(jìn)一步體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
5．通過具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置。
6．通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）頂點的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點間的距離公式。
二、內(nèi)容安排
本章內(nèi)容共分三節(jié)，約需9課時，具體課時分配如下（僅供參考）：
4．1 圓的方程 約2課時
4．2 直線、圓的位置關(guān)系 約4課時
4．3 空間直角坐標(biāo)系 約2課時
小 結(jié) 約1課時
本章知識結(jié)構(gòu)如下：
1．“直線與方程”一章研究了直線方程的各種形式、直線之間的位置關(guān)系以及直線之間位置關(guān)系的簡單應(yīng)用。本章在第三章的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識——圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程；繼續(xù)運用“坐標(biāo)法”研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等幾何問題；學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識，用坐標(biāo)表示簡單的空間的幾何對象。
2．“圓的方程”一節(jié)包括圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程兩部分。首先提出確定圓的幾何要素這個問題，指出圓心和半徑是確定一個圓最基本的要素，然后引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的語言（方程）描述圓，進(jìn)而得到圓心為C（a，b ），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2。對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行變形，可以得出圓的一般方程，它們是表示圓的方程的兩種形式。
3．“直線、圓的位置關(guān)系”中，先從幾何角度指出它們之間的直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系，然后用方程去描述它們，通過方程研究直線、圓的位置關(guān)系。最后安排了直線與圓的方程在解決實際問題和平面幾何問題方面的應(yīng)用。
通過方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的主要內(nèi)容之一。判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個方面入手：
�。�1）曲線C1與C2有無公共點，等價于由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解．方程組有幾組實數(shù)解，曲線C1與C2就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，C1與C2就沒有公共點。
（2）運用平面幾何知識，把直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的結(jié)論轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題。
在本節(jié)的最后，進(jìn)一步指出用坐標(biāo)方法解決幾何問題的“三部曲”：
第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；
第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。
4．“空間直角坐標(biāo)系”包括空間直角坐標(biāo)系的概念，用坐標(biāo)表示空間中簡單的幾何對象，以及空間中兩點間的距離公式。
5．為了使學(xué)生更好地了解“坐標(biāo)法”，認(rèn)識信息技術(shù)在探求軌跡方面的作用，本章安排了“閱讀與思考 坐標(biāo)法與機器證明”和“探究與發(fā)現(xiàn) 用《幾何畫板》探求點的軌跡（圓）”�！伴喿x與思考 坐標(biāo)法與機器證明”介紹了坐標(biāo)法、笛卡兒、坐標(biāo)法與機器證明之間的關(guān)系、機器證明的思想，以及在機器證明方面作出重大貢獻(xiàn)的的我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生。目的是拓廣學(xué)生的知識面，了解我國數(shù)學(xué)家作出的重大貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣�！疤骄颗c發(fā)現(xiàn) 用《幾何畫板》探求點的軌跡（圓）”介紹了《幾何畫板》在探求點的軌跡，幫助學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)方面的作用。
三、編寫中考慮的幾個問題
1．始終貫穿“坐標(biāo)法”的思想
解析幾何的特點是用代數(shù)的方法研究幾何圖形。對于義務(wù)教育階段中判斷圓與直線、圓與圓之間的位置關(guān)系的方法，學(xué)生并不陌生。這里研究問題的方法與以前不同，這就是坐標(biāo)法．
在建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先幫助學(xué)生回顧確定圓的要素，然后利用坐標(biāo)法來刻畫圓，建立了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；判斷圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系時，首先回顧義務(wù)教育階段如何判斷圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系，然后利用坐標(biāo)法研究它們。從另一個角度看，既然圓、直線都可以用方程來刻畫，那么就可以通過對方程的研究來研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，這就是兩曲線是否有公共點的問題，即它們的方程組成的方程組有沒有實數(shù)解的問題。本章在進(jìn)行圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系判斷時，常常采用這兩種方法．
2．從一個或幾個數(shù)學(xué)問題展開知識內(nèi)容
問題是數(shù)學(xué)的心臟。引入知識內(nèi)容時，常設(shè)置一個或幾個問題，創(chuàng)設(shè)一種情境，一方面引起學(xué)生的興趣，另一方面引起學(xué)生解決問題的求知欲望。
比如“4. 1.2 圓的一般方程”，提出了兩個思考題
思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么圖形？
實際上，對方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，這個方程不表示任何圖形。
緊接著，教科書又提出一個讓學(xué)生探究的問題。
探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么條件下表示圓？
教科書環(huán)環(huán)相扣，把學(xué)生引入一個又一個“憤”與“悱”的境地，使得學(xué)生通過問題的解決學(xué)習(xí)新的知識。
3．關(guān)注結(jié)論形成的過程，通過思考、探究，得出結(jié)論
本章在編寫時注意呈現(xiàn)方式，不直接給出結(jié)論，讓學(xué)生證明。而是把結(jié)論放在學(xué)生經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)活動之后，通過思考、探究，得出結(jié)論。比如，用“坐標(biāo)法”解決問題的“三部曲”就是通過解決一系列問題后得出。在例題的呈現(xiàn)時，增加了分析的過程，重點分析解題的思路。在探求點的軌跡時，提倡先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對問題有一個直觀的了解，然后再分析軌跡形成的原因，找出解決問題的方法，使得學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，理清思路，制訂合理的解題策略。
4．充分利用教科書邊空，提出具有一定思考價值的問題，強調(diào)重要的數(shù)學(xué)思想方法
利用教科書邊空不失時機地提出一些具有一定思考價值的問題，例如：
�。�1）當(dāng)一個問題解決之后，詢問“還有其他不同的解法嗎？”或者是“有更好的解法嗎？”
�。�2）當(dāng)同一個問題有兩種解法時，要求比較它們的優(yōu)劣。如“請同學(xué)們比較這兩種證明方法，并指出各自的特點？”在比較中加深理解，促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣．
�。�3）當(dāng)同一個問題有多種解法時，要求學(xué)生在教科書已經(jīng)給出一種或兩種解法的基礎(chǔ)上再給出一種。
歸納、抽象是重要的數(shù)學(xué)思想方法。在問題解決之后，要求學(xué)生進(jìn)行一些簡單的歸納。例如，“4. 1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”，在學(xué)習(xí)了例2與例3之后，提出“比較例2和例3，你能歸納出求任意三角形外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法嗎？”
通過問題的開放性，觸類旁通地提出問題。比如，研究圓C1：x2＋2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的關(guān)系時，把它們的方程相減，得到 x＋2y－1＝0。在邊空處要求“畫出圓C1與2以及方程x＋2y－1＝0表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說明為什么嗎？”更進(jìn)一步，能否說，要研究圓C1與圓C2的關(guān)系只要研究直線x＋2y－1＝0與C1（或C2）的關(guān)系就可以了呢？這一問題，不僅體現(xiàn)了“化歸”的思想，而且是頗具思考價值的．
5．注意加強與實際問題、其他學(xué)科的聯(lián)系
本章內(nèi)容的選擇盡可能加強與學(xué)生的生活、生產(chǎn)實際的聯(lián)系。比如，為說明研究直線與圓的位置關(guān)系的必要性，設(shè)置了一個漁船能否避開臺風(fēng)的問題：
一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區(qū)域. 已知港口位于臺風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？
在直線與圓的方程的應(yīng)用部分，設(shè)置了與圓拱橋有關(guān)的計算題。學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系時，要求寫出食鹽晶胞中鈉原子在空間直角坐標(biāo)系中的位置（坐標(biāo)）等等。
6．介紹科技成果，滲透數(shù)學(xué)文化
本章通過設(shè)置“閱讀與思考 坐標(biāo)法與機器證明”欄目，介紹科學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用等，機器證明幾何定理是坐標(biāo)法的精彩應(yīng)用，我國數(shù)學(xué)家吳文俊先生在這方面有著重要的貢獻(xiàn)，較為詳細(xì)地介紹了機器證明幾何定理研究的歷史。
四、對教學(xué)的幾個建議
1．認(rèn)真把握教學(xué)要求
教學(xué)中，注意控制教學(xué)的難度，避免進(jìn)行綜合性強、難度較大的數(shù)學(xué)題的訓(xùn)練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務(wù)教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結(jié)論都可以用坐標(biāo)法來加以證明，而義務(wù)教育階段的教學(xué)要求已經(jīng)有所改變。因此，用坐標(biāo)法證明平面幾何題要求不宜過高，適可而止。再如，教科書不介紹圓的切線方程x0x+y0y＝r2，這并不是說不涉及圓與直線相切這一位置關(guān)系。與直線相切這一位置關(guān)系的判斷可以有兩種方法，一種是利用圓心到直線的距離等于半徑長；另一種是利用它們的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解。
2．關(guān)注重要數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
重要的數(shù)學(xué)思想方法不怕重復(fù)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求“坐標(biāo)法”應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。在教學(xué)中應(yīng)自始至終強化這一思想方法，這是解析幾何的特點。教學(xué)中注意“數(shù)”與“形”的結(jié)合，在通過代數(shù)方法研究幾何對象的位置關(guān)系以后，還可以畫出其圖形，驗證代數(shù)結(jié)果；同時，通過觀察幾何圖形得到的數(shù)學(xué)結(jié)論，對結(jié)論進(jìn)行代數(shù)證明，不應(yīng)割斷它們之間的聯(lián)系，只強調(diào)其一方面。
3．關(guān)注學(xué)生的動手操作和主動參與
學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是課程改革的重要目標(biāo)之一。教學(xué)中，注意提供充分的數(shù)學(xué)活動和交流的機會，引導(dǎo)他們在自主探索的過程中獲得知識、增強技能、掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。例如，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系以及它們的簡單應(yīng)用，探究點的軌跡等內(nèi)容，可以先讓學(xué)生畫一畫、想一想，然后進(jìn)行代數(shù)論證�！坝^察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置目的之一就是想讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動中來。
4．關(guān)注信息技術(shù)的應(yīng)用
平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科，信息技術(shù)在加強幾何直觀，促使數(shù)與形結(jié)合方面有著特殊的作用。借助信息技術(shù)，可以形象、直觀地幫助學(xué)生認(rèn)識所研究的曲線。在動態(tài)演示中，觀察曲線的性質(zhì)，在直觀了解的基礎(chǔ)上，尋求形成這些性質(zhì)的原因以及代數(shù)表示。通過對方程的研究，了解曲線與曲線的關(guān)系時，運用信息技術(shù)，可以進(jìn)一步驗證得到的結(jié)果，為抽象的認(rèn)識增添了形象的支持。在探究點的軌跡時，可以借助信息技術(shù)，探究軌跡的形狀等等。
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