數(shù)學(xué)實驗的教育價值論文
本期《江蘇教育》刊登了4篇數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的文章。這4篇文章既是對近年來數(shù)學(xué)實驗教學(xué)系列課題研究的一個概括性回顧和總結(jié)，也是對這個課題研究的反思和前瞻。腳踏實地、堅持不懈,這個初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)團隊闖出了一條路，開拓了一個教學(xué)領(lǐng)域，形成了江蘇初中數(shù)學(xué)教育一道亮麗的風(fēng)景線，其意義遠勝過閉門造車、書齋造文式的高談闊論。
四篇文章由讀者自品其味，這里筆者對數(shù)學(xué)實驗的教育價值再作一番思考。
一、數(shù)學(xué)實驗:學(xué)習(xí)認(rèn)知發(fā)展的有效途徑
第一，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展分析。數(shù)學(xué)實驗是指通過動手動腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生運用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學(xué)驗證或探究活動[1]。在這個過程中，學(xué)生首先要對實驗對象進行細致觀察，實驗對象可能是實物，也可能是文字、符號、圖形信息，觀察就是要辨析對象變化的特征，提出變化前后可能的因果關(guān)系猜想，這一過程以空間想象為支撐。其次，通過觀察，去除無關(guān)因素和表面信息，抽象概括出對象在數(shù)量或圖形方面的本質(zhì)特征。因此,數(shù)學(xué)實驗的過程包括了觀察、空間想象、概括等思維活動。而空間想象、概括這些認(rèn)知要素最終會形成能力,從這個角度分析可以看到，數(shù)學(xué)實驗與空間想象能力、概括能力就產(chǎn)生了直接的因果關(guān)系。
皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)知發(fā)展的過程是一個內(nèi)在結(jié)構(gòu)連續(xù)的組織和再組織過程，過程的進行是連續(xù)和經(jīng)常的,但它造成的結(jié)果是不連續(xù)的，因此發(fā)展具有階段性。因而我們需要關(guān)心學(xué)生的概括能力、空間想象能力的關(guān)鍵發(fā)展期在什么階段。其實,這個問題北京師范大學(xué)教授林崇德先生做了深入研究。他把概括能力分為四個等級:第I級為數(shù)字概括水平;第II級為初步本質(zhì)概括水平；第III級為形式運算概括水平;第IV級為辯證抽象概括水平。初中一年級學(xué)生是第II級水平,初中二年級學(xué)生是中學(xué)階段概括能力發(fā)展中的第一個轉(zhuǎn)折點，但仍是第II級水平占優(yōu)勢,經(jīng)過初中三年級過渡，高中一年級概括能力又是一個顯著的變化，第III級水平占優(yōu)勢p]。這項研究表明，初中階段是學(xué)生概括能力發(fā)展的一個關(guān)鍵期。
同樣,林崇德等人對空間想象能力也做了研究。將空間想象能力分為三個水平。第I級水平：由形狀簡單的實物想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，通過整體形狀來認(rèn)識二維或三維的幾何圖形,分析出簡單幾何圖形的特征。第II級水平.?能夠由較復(fù)雜的圖形分解出簡單的、基本的圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關(guān)系，并能夠?qū)D形及其特征聯(lián)系起來，根據(jù)條件作出或畫出圖形。第III級水平:能夠由基本圖形組合成較復(fù)雜的圖形，能夠想象幾何圖形的運動和變化，會形象地揭示問題的本質(zhì)。研究結(jié)果表明，中學(xué)生空間想象能力發(fā)展的年齡特征表現(xiàn)在：每一級水平的空間想象能力都是隨著學(xué)生年級的升高而呈現(xiàn)上升發(fā)展的趨勢。其中，初二學(xué)生的空間想象能力在第1、11級水平上，與初一學(xué)生相同水平層次上的能力相比較，并沒有太大的進步。初三年級學(xué)生在前兩級水平上有一個飛速發(fā)展，這表明初中二年級是空間想象能力迅速發(fā)展的關(guān)鍵期。由于初中二年級的數(shù)學(xué)課程中大大豐富了?面幾何的內(nèi)容，因此經(jīng)過初二一年的學(xué)習(xí)，初中三年級學(xué)生的空間想象能力獲得了一個質(zhì)的飛躍發(fā)展。
上述研究為初中階段開展數(shù)學(xué)實驗提供了學(xué)習(xí)心理學(xué)方面的依據(jù)。在初中學(xué)生概括能力和空間想象能力發(fā)展的關(guān)鍵期，數(shù)學(xué)實驗的介人會促進這兩種能力的發(fā)展，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。
第二，從“具身認(rèn)知”理論分析�！熬呱碚J(rèn)知”是一種將認(rèn)知和身體聯(lián)系起來的理論，其核心觀點是:認(rèn)知、思維、記憶、學(xué)習(xí)、情感和態(tài)度等是身體作用于環(huán)境的活動而塑造出來的。從根本上講，心智是一種身體經(jīng)驗，身體的物理體驗制約了心智活動的性質(zhì)和特征[3]。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，心智是對符號性表征的加工和操縱,認(rèn)知在本質(zhì)上是發(fā)生于大腦中樞的'符號運算，身體的作用只是提供刺激和執(zhí)行指令。與認(rèn)知心理學(xué)不同具身認(rèn)知”理論還認(rèn)為，身體的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)決定了認(rèn)知的種類和特性。認(rèn)知是身體的認(rèn)知，而身體的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)又是進化的產(chǎn)物，是環(huán)境塑造出來的。這意味著認(rèn)知、身體和環(huán)境是一個緊密的聯(lián)合體。思維與身體密不可分，如影隨形地相伴而行,沒有離身的思維，思維活動過程中各種信息都是來源于身體的各項相應(yīng)的感官通道的擷取與初步組織，而思維的動力與能量的取得，也離不開作為物質(zhì)的身體健康狀況的承載，就是說，發(fā)生認(rèn)識離不開身體的支撐。事實上，杜威的“從做中學(xué)”就是踐行“具身認(rèn)知”理論的典范，因為這一學(xué)習(xí)方式建立了學(xué)習(xí)者的認(rèn)知與身體動作之間的聯(lián)系，以身體的動作來促進思維的發(fā)展。
數(shù)學(xué)實驗是學(xué)習(xí)者通過對實驗工具的操作，抽象概括出事物的數(shù)量特征和圖形特征的學(xué)習(xí)方式，它改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)“先學(xué)后做”為“先做后學(xué)”或者“在做中學(xué)”的模式，樹立了一種新的教學(xué)范式，這種教學(xué)的“反叛”在具身認(rèn)知理論中找到了支持。
二、數(shù)學(xué)實驗:教學(xué)過程完善性的必要補充
長期以來，由于定位于基礎(chǔ)知識和基本技能的考試評價導(dǎo)向作用，使一條完整的教學(xué)鏈遭到了破壞。
我們把當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)稱為知識教學(xué)，其特征為：重理論輕實踐、重結(jié)果輕過程、重知識輕能力、重證實輕證偽、重訓(xùn)練輕理解。表現(xiàn)為：要求學(xué)生掌握書本知識而不顧及這些知識與現(xiàn)實的聯(lián)系，要求學(xué)生只是掌握知識的結(jié)果而不追問這些知識的結(jié)果從何而來又向何而去，要求學(xué)生記住知識的外殼而不挖掘知識內(nèi)在的思想方法，要求學(xué)生以虔誠的心態(tài)證實和接受真理而不去辨析謬誤和體驗產(chǎn)生真理的艱辛，要求學(xué)生能夠解決大量數(shù)學(xué)練習(xí)而不理解數(shù)學(xué)的本源性問題……本質(zhì)上，知識的教學(xué)不是一種文化教學(xué)。
在《教育部關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中，明確界定了“核心素養(yǎng)”，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。突出強調(diào)個人修養(yǎng)、社會關(guān)愛、家國情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實踐。這種新的導(dǎo)向無疑是對以知識和技能為教學(xué)目標(biāo)的一種批判，必將會使人們產(chǎn)生對教學(xué)本質(zhì)的重新理解，還原教學(xué)的完整過程。
教學(xué)的完整鏈應(yīng)當(dāng)包括三個階段：怎么來的？是什么？怎么去的？第一階段，“怎么來的”指教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么要學(xué)習(xí)這個知識？產(chǎn)生這個知識的緣由是什么？這個知識是如何生成的？它與其他知識有什么關(guān)系？要解決這幾個問題，教師就必須揭示知識產(chǎn)生的過程和在產(chǎn)生知識的過程中出現(xiàn)的曲折。顯然，知識的過程因素、知識的證偽因素、知識的實踐因素都會在教學(xué)的這一階段介人，同時還會有數(shù)學(xué)文化元素的滲透，這個教學(xué)階段為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著奠基性作用。第二階段，“是什么”指對教師幫助學(xué)生對知識結(jié)果的理解，包括利用知識解決數(shù)學(xué)本身的問題和解決一些現(xiàn)實生活中的問題。知識的理論因素、知識的結(jié)果因素、知識的證實因素會在這一階段介人，這個教學(xué)階段為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著夯實性作用。第三階段，“怎么去的”指教師要啟發(fā)學(xué)生思考知識會向什么方向發(fā)展，在這個知識基礎(chǔ)上會生成什么新的知識。這一階段需要反思性思維、批判性思維、創(chuàng)新性思維的參與，需要猜想、證偽、證實等方法的并用，這個教學(xué)階段在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過程中起著關(guān)鍵性作用。
這個教學(xué)鏈中，數(shù)學(xué)實驗擔(dān)當(dāng)了重要的角色，它的亮相主要是在第一階段和第三階段。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)摒棄了只重視教學(xué)第二階段的傳統(tǒng)做法，是對教學(xué)過程完善性的必要補充。
三、數(shù)學(xué)實驗:課程資源開發(fā)的豐富源泉
數(shù)學(xué)課程資源可以分為外顯素材性資源、外顯條件性資源、內(nèi)隱素材性資源、內(nèi)隱條件性資源。外顯素材性資源主要指以文字、語言、符號、圖形、圖表等在教材或媒體上顯示的知識，反映的是外顯的、靜態(tài)的結(jié)果型知識。外顯條件性資源指課程實施的人力、物力和財力資源，主要涉及設(shè)施、媒介和環(huán)境。例如圖書館、博物館、大眾傳播系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)、校內(nèi)外教師資源等均屬于外顯條件性資源。內(nèi)隱素材性資源是指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識深層的隱性知識。具體地說，包括數(shù)學(xué)知識的文化元素、數(shù)學(xué)知識的過程元素、數(shù)學(xué)知識的邏輯元素、數(shù)學(xué)知識的背景元素等。內(nèi)隱條件性資源主要指教師根據(jù)對素材性課程資源的理解，結(jié)合外顯條件性資源去構(gòu)建的適合學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂環(huán)境。
數(shù)學(xué)實驗材料本身是屬于內(nèi)隱性課程資源，開發(fā)這些資源需要教師對知識的產(chǎn)生、知識之間的聯(lián)系、知識中包含的數(shù)學(xué)思想方法等有深入的理解，對其進行教學(xué)法層面的再加工，形成實驗設(shè)計。由于這些要素都沒有在教材中明確寫出，需要教師自己開發(fā)，因此屬于一種內(nèi)隱性資源。另一方面，一旦把這些資源開發(fā)出來，它們就變成了外顯素材性資源，例如，“初中數(shù)學(xué)實驗的理論與實踐研究”課題組開發(fā)的《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)實驗手冊》(共5冊）就是外顯素材性資源。數(shù)學(xué)實驗材料的開發(fā)是對內(nèi)隱素材性資源的挖掘，開發(fā)后形成的結(jié)果又是外顯素材性資源’即從課程體系來看，數(shù)學(xué)實驗兼有外顯和內(nèi)隱雙重課程資源的性質(zhì)。
初中數(shù)學(xué)中許多內(nèi)容都與數(shù)學(xué)實驗有內(nèi)在的聯(lián)系，大體上可以分為以下幾種情形：
(1)由具體到一般的問題。從具體到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程往往可以介人實驗，實驗就是對個別現(xiàn)象的處理，然后推廣到一般情形。例如，“數(shù)字黑洞”是一種數(shù)字游戲，通常從一個整數(shù)或一組整數(shù)出發(fā)，按某種規(guī)定的計算法則，反復(fù)進行同一種操作程序，最終都會回到一個數(shù)值上，這個數(shù)值就像宇宙中的黑洞一樣將任何數(shù)字牢牢吸住。這是從特殊到一般發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程。
(2)代數(shù)問題的幾何解釋。代數(shù)問題幾何化，使抽象變?yōu)橹庇^,可視化往往帶來實驗的契機。這方面的例子非常多。例如,將兩個邊長為1個單位長度的正方形，分別沿對角線剪開，得到的4個等腰直角三角形拼成1個大正方形，這個大正方形的面積為2，邊長a是一個無理數(shù)。請在數(shù)軸上表示出無理數(shù)a。
(3)幾何圖形變換問題。通過平移、對折、旋轉(zhuǎn)、壓縮等幾何變換,能夠發(fā)現(xiàn)新的問題。其中，如何變換本身就是數(shù)學(xué)實驗。(4)通過計算數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的問題。例如，通過計算、擲骰子、操作Excel等活動，引導(dǎo)學(xué)生從具體的幾個有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)出發(fā)認(rèn)識無限不循環(huán)小數(shù)，感受到無限不循環(huán)小數(shù)是客觀存在的�？傊瑪�(shù)學(xué)實驗為數(shù)學(xué)課程資源的開發(fā)提供了豐富的源泉。
開發(fā)數(shù)學(xué)實驗材料，需要教師對數(shù)學(xué)知識有深刻的理解，能透視作為結(jié)果性知識背后的實驗成分，需要教師有洞察力和創(chuàng)造力。因此，開發(fā)數(shù)學(xué)實驗材料這種內(nèi)隱性課程資源，同時能對數(shù)學(xué)實驗進行恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計，是提升教師自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進專業(yè)發(fā)展的一條有效途徑。另一方面，把開發(fā)出來的外顯性數(shù)學(xué)實驗文本應(yīng)用于教學(xué)實踐，對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又有直接的推動作用。這就是數(shù)學(xué)實驗表現(xiàn)出來的特殊課程資源的功能。
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