華杯賽的試題及解答

　　試題：

　　1.計算:2.00×2.0

　　(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)

　　2.水池裝有一個水管和若干每小時注水量相同的注水管，注水管注水時，排水管同時排水.若用12個注水管注水，8小時可注滿水池;若用9個注水管注水，24小時可注滿水池.現(xiàn)在用8個注水管注水，那么需要多少小時注滿水池?

　　3.在操場上做游戲，上午8：00從A地出發(fā)，勻速地行走，每走5分鐘就折轉(zhuǎn)90o。問：

　　(1)上午9：20能否恰好回到原處?

　　(2)上午9：10能否恰好回到原處?

　　如果能，請說明理由，并設(shè)計一條路線.如果不能，請說明理由。

　　4.1到100所有自然數(shù)中與100互質(zhì)各數(shù)之和是多少?

　　5.老王和老張各有5角和8角的郵票若干張，沒有其它面值的郵票，但是他們郵票的總張數(shù)一樣多.老王的5角郵票的張數(shù)與8角郵票張數(shù)相同，老張的5角郵票的金額等于8角郵票的金額.用他們的郵票共同支付110元的郵資足夠有余，但不夠支付160元的郵資.問他們各有8角郵票多少張?

　　6.在下面一列數(shù)中，從第二個數(shù)開始，每個數(shù)都比它前面相鄰的數(shù)大7，8，15，22，29，36，43，……。

　　它們前n-1個數(shù)相乘的積的末尾0的個數(shù)比前n個數(shù)相乘的積的'末尾0的個數(shù)少3個，求n的最小值.

　　解答：

　　1.答：2.00×2.0

　　原式=

　　2.解:設(shè)單開水管需x小時將滿池水排完,單開一個注水管需要y小時,則可知排水管每小時排整池水的,

　　注水管每小時注水,可知有

　　即為……………………………①

　　同時由2小時用9個注水管注滿水知

　　即為……………………………②

　　將①-②得可知

　　代入①中得

　　所以用8個注水管注水每小時注水

　　故需用時(小時)

　　答:用8個注水管注水,需要72小時注滿水池.

　　3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我們可以設(shè)計如下的路線:我們?nèi)魶]定每走5分鐘都按順時針方向(或逆時針方向)折轉(zhuǎn)90°,則可知每過20分鐘回到原處,而到9:20恰好過了80分鐘,故可知9:20恰好第4次回原處.

　　(2)上午9:10不能回到原地.因為到上午9:10共走了70分鐘,而我們可以驗證不管每一步為逆時針折轉(zhuǎn)90°,還是順時針折轉(zhuǎn)90°都不能在70分鐘內(nèi)回原地.

　　4.解:我們可以先去考慮到100的所有自然數(shù)中與100不可質(zhì)的數(shù),因為100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的數(shù)都與100不互質(zhì).其中含因子2的有2,4,6,8…，100(即為50個數(shù)),含因子5的有5，10，15，20…，100但其中10，20，30，…100已經(jīng)包括在上面內(nèi),故與100不互質(zhì)的1到100之內(nèi)的數(shù)為:2，4，6，…100，5，15，25，…95。

　　這些數(shù)的和為：2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=

　　而1到100的自然而然數(shù)和為：

　　所以與100互質(zhì)的自然數(shù)之和為：5050-3050=2000。

　　答:1到100所有自然數(shù)中與100互質(zhì)各數(shù)之和為2000.

　　5.解:設(shè)老王有8角郵票x張,老張有8角郵票y張,可知老王的5角郵票也有x張,故該總張數(shù)為2x張,則老張的5角郵票為張.

　　由老張5角郵票金額等于8角郵票金額知

　　即為……………………………①

　　又由他們可共同支付110元到160元之間的郵資知

　　……………………………②

　　將①代入②中得

　　同時又由為整數(shù)知x為13的整數(shù)

　　結(jié)合上述兩個條件知,又由①知

　　答:老王共有52張8角郵票,老張有40張8角郵票。

　　6.解:觀察這列數(shù)可知每個數(shù)除以7余數(shù)為1,由題意知若使n最小,則第n個數(shù)必須含有3個5的因子,這樣由5的因子數(shù)少于2因子數(shù)知前n個相乘方會比前n-1個多3個0。所以第n個數(shù)可寫成的形式,即為(k為自然數(shù))且125k除以7余數(shù)為1,這樣最小的k值為6。即第n個數(shù)為.此時再根據(jù)第n個數(shù)又可表示為知可得

　　答:n的最小值為107。

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