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平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用的說課稿

時(shí)間:2021-02-19 10:30:38 說課稿 我要投稿

平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用的說課稿

  1 教材與學(xué)情分析

平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用的說課稿

  “平面向量的應(yīng)用”這節(jié)教材在二期課改課本第 10 章最后一節(jié) 10.6,屬于拓展內(nèi)容。教材選取 5 個(gè)例題說明向量作為工具在數(shù)學(xué)、物理中的廣泛應(yīng)用性,其中例 1 和例 2 說明向量在平面幾何中的應(yīng)用,例 3(柯西不等式的證明)說明向量在代數(shù)中的應(yīng)用,例 4 和例 5 說明向量在力學(xué)中的應(yīng)用。已學(xué)完“力學(xué)”的高二學(xué)生對(duì)向量在力學(xué)中的應(yīng)用并不陌生,聯(lián)想向量相等、平行向量的關(guān)系、垂直向量的關(guān)系等解決平面幾何問題讓學(xué)生感到也較自然,因?yàn)檫@是形——形的轉(zhuǎn)化、很直觀,而且涉及的向量知識(shí)也較容易,學(xué)生掌握得也好。而聯(lián)想向量模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”、“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉(zhuǎn)化為 “有關(guān)坐標(biāo)的等式”等解決函數(shù)最值、不等式和等式證明、三角求值等問題讓學(xué)生感到比較困難,其原因之一是以上的知識(shí)掌握和理解有一定的難度,二是聯(lián)想構(gòu)造“數(shù)——形——數(shù)”轉(zhuǎn)化的要求高、綜合性強(qiáng)、較抽象,三是教學(xué)中能力培養(yǎng)不到位,因此在“平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用”的教學(xué)中能力培養(yǎng)是關(guān)鍵。

  本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)“向量在平面幾何中的應(yīng)用”基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”。圍繞以上向量的概念和運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用精心問題,引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析表達(dá)式的特征,聯(lián)想向量知識(shí),通過構(gòu)造向量將已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)、進(jìn)行向量運(yùn)算或向量性質(zhì)的應(yīng)用將所得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為所求結(jié)論的過程,學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法中的“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”等有更深刻的理解;通過變式教學(xué)、特殊與一般的研究,感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣;通過錯(cuò)誤辨析、一題多解、一題多變的探究,夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ),達(dá)到深刻理解向量的概念,熟練掌握向量的運(yùn)

  算和性質(zhì)的目的,因而本節(jié)課的教學(xué)有助于學(xué)生能力的提高。

  本課的教學(xué)對(duì)象為松江二中高二學(xué)生,他們已較好地理解了向量的概念,比較熟練地掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì),并能進(jìn)行簡單應(yīng)用,有“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用意識(shí),善于思考和發(fā)現(xiàn),有較高的認(rèn)知水平。因此,有可能也有必要引導(dǎo)他們進(jìn)行問題探究。關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的思想應(yīng)用,來源于兩個(gè)方面,一是已體會(huì)到向量本身就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,它兼具代數(shù)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀特點(diǎn),二是通過基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí),體會(huì)到應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)的零點(diǎn)、方程和不等式的解等問題。正如美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說:“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思想就整體地把握了問題,并能創(chuàng)造性思索問題的解法”。所以本節(jié)課以“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”為載體,進(jìn)一步讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”的思想應(yīng)用為目標(biāo),培養(yǎng)學(xué)生的探究精神為歸宿,促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高。

  2.教學(xué)目標(biāo)

  2.1 學(xué)生通過問題探究,深刻理解向量的概念,熟練掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì),并能著意聯(lián)想恰當(dāng)應(yīng)用,解決有關(guān)代數(shù)問題;

  2.2 學(xué)生通過一題多解、一題多變的研究,揭示向量在代數(shù)問題中的應(yīng)用本質(zhì),體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想及特殊與一般關(guān)系的應(yīng)用,感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

  3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、注意點(diǎn)

  本課重點(diǎn)是加深向量概念、向量的運(yùn)算和性質(zhì)的理解,并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)代數(shù)問題;難點(diǎn)是如何數(shù)形轉(zhuǎn)化和有關(guān)向量模的不等式等號(hào)成立的本質(zhì)理解;注意點(diǎn)要求學(xué)生規(guī)范表達(dá)數(shù)形結(jié)合解題的步驟。

  重點(diǎn)突破:以問題為出發(fā)點(diǎn),觀察、分析、展開聯(lián)想,實(shí)踐探索,展示學(xué)生在討論、回答過程中的思維活動(dòng),體會(huì)問題本質(zhì)。難點(diǎn)突破:復(fù)習(xí)回顧有關(guān)“向量實(shí)數(shù)化”的特征,如模、數(shù)量積、坐標(biāo)的表示等,通過問題銜接設(shè)計(jì),鋪墊暗示,一題多解、一題多變、錯(cuò)題辨析、幾何畫板的應(yīng)用等達(dá)到突破難點(diǎn)目的。

  4. 教學(xué)方法與教學(xué)手段

  4.1 充分體現(xiàn)“以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)”的原則

  注重問題設(shè)計(jì),體現(xiàn)教師的導(dǎo)向功能,展示學(xué)生是展開聯(lián)想的主體;

  重視實(shí)踐探索,體現(xiàn)教師的導(dǎo)律功能,展示學(xué)生是揭示規(guī)律的主體

  應(yīng)用媒體實(shí)驗(yàn),體現(xiàn)教師的導(dǎo)標(biāo)功能,展示學(xué)生是體驗(yàn)演示的主體

  4.2 采取教師指導(dǎo)下的學(xué)生實(shí)踐、探索的模式,把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn),指導(dǎo)嘗試,總結(jié)反思。

  4.3 powerpoint、幾何畫板、多媒體系統(tǒng)

  5.課堂設(shè)計(jì)

  5.1 新課引入

 。1)用 PPT 在屏幕上顯示華羅庚的相片和華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的至理名言“數(shù)缺形時(shí)少直觀 形離數(shù)時(shí)難入微”的話,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的'思想和解決問題的常用策略,以數(shù)學(xué)家的語言激發(fā)同學(xué)進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望;

 。2)向量本身就是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,它兼具代數(shù)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生回顧有關(guān)“向量實(shí)數(shù)化”的特征,如模、數(shù)量積、坐標(biāo)的表示等,期望能進(jìn)一步說出有關(guān)的不等式和等式,如模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”、“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉(zhuǎn)化為 “有關(guān)坐標(biāo)的等式”……

 。3)提出課題,在學(xué)習(xí)“向量在平面幾何中的應(yīng)用”基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”。

  5.2 問題探究

  出示問題 1. 設(shè) a、b 為不相等的實(shí)數(shù), 要求學(xué)生自主探索、相互討論。

  預(yù)計(jì):學(xué)生思路分下列三種類型:(1)有根號(hào)想到兩次平方分析;(2)由根號(hào)內(nèi)的現(xiàn)性特征,聯(lián)想向量的模概念,構(gòu)造向量,將結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)式,從而揭示“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”本質(zhì);(3)由根號(hào)內(nèi)的現(xiàn)性特征,聯(lián)想兩點(diǎn)間距離公式,構(gòu)造點(diǎn)坐標(biāo),將結(jié)論轉(zhuǎn)化為平面上三點(diǎn)間距離的不等關(guān)系,從而揭示“兩線段長度之和(差)大于或等于(小于或等于)第三線段的長”本質(zhì)。

  分析:學(xué)生討論三種方法的異同點(diǎn),期望說出(1)是處理絕對(duì)值和根號(hào)的一般代數(shù)方法;而(2)(3)都是應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)化解決,體現(xiàn)本問題的特殊性,且強(qiáng)調(diào)(2)(3)兩種方法解題原理相同……

  總結(jié)用向量解決代數(shù)問題的步驟:

  (1)構(gòu)造向量,將已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)式 (數(shù)----形);

 。2)進(jìn)行向量運(yùn)算或向量性質(zhì)的應(yīng)用;

  (3)將所得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為所求的結(jié)論(形----數(shù)).

  老師板書示范后,引導(dǎo)學(xué)生討論,條件不變的前提下,由于構(gòu)造向量或向量性質(zhì)應(yīng)用的差異,會(huì)得到不同的結(jié)論,期望同學(xué)一題多變 ……

  注意:“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”等號(hào)成立的條件,為下面突破難點(diǎn)作好鋪墊。

  練一練

  求函數(shù)的 最小值.

  由學(xué)生的錯(cuò)誤答案 13 ,引導(dǎo)學(xué)生尋找錯(cuò)誤原因,并通過幾何畫板演示最小值取得的條件。強(qiáng)調(diào)最值的驗(yàn)證,揭示數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì),突破難點(diǎn)。

  引導(dǎo):當(dāng)看到

  出示問題 2,即課本 P50 例 3,讓學(xué)生討論總結(jié)“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”的應(yīng)用,就證明了柯西不等式,此時(shí)預(yù)計(jì)學(xué)生比較活躍,課堂進(jìn)入高潮……

  變式

  并指出等號(hào)成立的充要條件.

  預(yù)計(jì):許多學(xué)生已觀察出仍然是“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”的應(yīng)用,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)本質(zhì),體會(huì)柯西不等式所反映實(shí)數(shù)關(guān)系的奇妙性,感受一般與特殊關(guān)系。

  注意:“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”中等號(hào)成立的條件,為下面練習(xí)鋪墊,。

  練一練

  預(yù)計(jì):學(xué)生使用計(jì)算器,很快發(fā)現(xiàn)值為 0……

  教師因勢(shì)利導(dǎo):你能不用計(jì)數(shù)器解決嗎?觀察角構(gòu)成的等差數(shù)列的代數(shù)特征,公差為 72 ,項(xiàng)數(shù)為 5,如果構(gòu)造五個(gè)單位向量且順次連接,那么將會(huì)得到什么圖形?學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)畫圖、幾何畫板演示,學(xué)生觀察、體驗(yàn)。

  預(yù)計(jì):學(xué)生回答正五邊形,并很快解釋值為 0 的理由,將五個(gè)單位向量的起點(diǎn)放在原點(diǎn)處,終點(diǎn)連接,也構(gòu)成正五邊形,原點(diǎn)為其中心,由力學(xué)知識(shí)所知,五個(gè)單位向量的和為零向量。

  教師給予表揚(yáng),強(qiáng)調(diào)同學(xué)有很好的直覺思維,因?yàn)橐粋(gè)真理的發(fā)現(xiàn)很重要,而證明只是一個(gè)時(shí)間問題。正如大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓有句名言:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)! 并鼓勵(lì)他完成邏輯證明。

  教師點(diǎn)撥:既然構(gòu)造五個(gè)單位向量能組成正五邊形,那么對(duì)于多邊形有怎樣的向量運(yùn)算性質(zhì)呢?

  學(xué)生:此時(shí)五個(gè)單位向量的和為零向量的結(jié)論有了依據(jù),學(xué)生興奮不已,而且得到了一個(gè)“副產(chǎn)品”,這五個(gè)角的正弦和也為 0。

  由此引導(dǎo)學(xué)生自我編題,體驗(yàn)一類三角求值的本質(zhì)特點(diǎn),從而進(jìn)行一般研究。

  推廣:

  5.3 課堂總結(jié),

 。1) 深化理解向量概念,熟練掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)。掌握平面向量在代數(shù)中應(yīng)用的解題步驟。

 。2)善于抽象概括 ,從而做到觸類旁通; 研究問題的數(shù)學(xué)特征(代數(shù)意義、幾何意義),善于聯(lián)想,使數(shù)量關(guān)系與幾何形式有機(jī)結(jié)合。

 。3)通過問題探究,應(yīng)注重邏輯思維和直覺思維的有機(jī)滲透,因?yàn)橹庇X思維是創(chuàng)造性思維活動(dòng)的一種表現(xiàn)。

  5.4 注意

  向量是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)工具,當(dāng)然如果不用向量,也可以解決有關(guān)問題。

  但是如果由代數(shù)特征,聯(lián)想向量的概念和運(yùn)算,巧設(shè)向量解題,那么可以簡化問題解決,也可以加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

  5.5 作業(yè)(為進(jìn)一步鞏固本課所學(xué)知識(shí)和方法,完成下列作業(yè),因課上時(shí)間)

  5.6 板書

  投影和黑板(在代數(shù)中應(yīng)用向量的運(yùn)算性質(zhì)解題的工具和問題 1 的解題過程及問題 2、3 的簡要過程一直留在黑板上,其它都通過投影顯示。)

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