目 錄
一、 全等變換及其性質(zhì) 1
（一） 全等變換的概念 1
（二） 全等變換的性質(zhì) 1
二、 全等變換的基本分類 1
（一） 平移 1
1. 平移的概念 1
2. 平移的性質(zhì) 2
3. 關(guān)于平移的問(wèn)題 2
（二） 旋轉(zhuǎn) 4
1. 旋轉(zhuǎn)的概念 4
2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 5
3. 關(guān)于旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題 5
（三） 對(duì)稱 7
1. 對(duì)稱的概念 7
2. 對(duì)稱的性質(zhì) 7
3. 關(guān)于對(duì)稱的問(wèn)題 8
三、 平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱之間的關(guān)系 14
參考文獻(xiàn) 16
全等變換及其性質(zhì)
全等變換的概念
在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書(shū)中給出了全等變換的概念，即：一般的，如果在歐氏平面上定義的變換T，使得任意兩點(diǎn)A，B和它們的象A'B'，總有AB=A'B'，則稱T是全等變換，也稱保距變換，或者合同變換。這種圖形運(yùn)動(dòng)也叫圖形的剛體運(yùn)動(dòng)，即剛體運(yùn)動(dòng)所生成的變換是全等變換。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁(yè)。]
而在《幾何課程研究》一書(shū)中，則給出了更為簡(jiǎn)潔的定義，即：一個(gè)平面上得到其自身的變換f，如果對(duì)于平面上任意兩點(diǎn)A,B,其距離ρ（A,B）總等于它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，B'間的距離ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等變換。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第140頁(yè)。]
全等變換的性質(zhì)
全等變換是一一變換；
平面上所有全等變換的集合構(gòu)成一個(gè)全等變換群；
兩直線的夾角不變；三角形的面積不變；平面圖形的面積不變；直線上A、B、C三點(diǎn)的簡(jiǎn)比AC/BC不變；
共線點(diǎn)變?yōu)楣簿�點(diǎn)，且保持順序關(guān)系不變；
直線變?yōu)橹本�、線段變?yōu)榫�段、射線變?yōu)樯渚�，半平面變?yōu)榘肫矫妫?/p>
兩直線的平行性、正交性不變。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第141頁(yè).]
全等變換的基本分類
平移
平移的概念
平移，也叫平移變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點(diǎn)P變換到P'，滿足：
（1）射線PP'有給定的方向；
（2）線段PP'有給定的長(zhǎng)度。
其中，點(diǎn)P與P'就是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。也就是說(shuō)，這里的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與P'組成的線段PP'平行于給定的射線，而且，線段PP'的長(zhǎng)度等于定長(zhǎng)。事實(shí)上，一個(gè)圖形F經(jīng)過(guò)了一次平移f而等到另一個(gè)圖形F'，意味著將圖形F上的所有點(diǎn)，按照同一方向都移動(dòng)了同樣的距離。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁(yè)。]
平移的性質(zhì)
（1）平移變換是第一類全等變換。因此，平移變換具有全等變換的一切性質(zhì)。
（2）在平移變換下，直線變成與它平行（或重合）的直線；線段AB變?yōu)榫�段A'B'，且AB=A'B'。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第142頁(yè)。]
關(guān)于平移的問(wèn)題
圖1
圖1是出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。由圖1可以看出，在我們平常的生活中，存在著許多平移現(xiàn)象，只不過(guò)學(xué)生們都沒(méi)有仔細(xì)地觀察過(guò)。該圖在引導(dǎo)學(xué)生注意觀察生活的基礎(chǔ)上，又開(kāi)拓了學(xué)生的思路，讓學(xué)生不單單要觀察，并且要記住，哪些現(xiàn)象是平移，并且可以舉出一些生活中平移的實(shí)例，例如人在行走過(guò)程中，上身就是在平移，又或者火車行駛在鐵軌上，也是一種平移。
圖2
圖3
圖2圖3都是出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)。在圖3中，形象的給出了一個(gè)鴨子的造型，首先引起了學(xué)生的興趣，讓學(xué)生有興趣繼續(xù)讀完下面題目的要求，此題要求學(xué)生做平移之后的圖，更多的是要同學(xué)自己動(dòng)手動(dòng)腦，在自己對(duì)平移的理解的基礎(chǔ)上解決問(wèn)題。問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)淺顯易懂，意在讓學(xué)生能夠形象的理解平移。如果理解上出現(xiàn)了什么偏差，在做題的過(guò)程中也可以表現(xiàn)出來(lái)，并且及時(shí)糾正。而在圖4中變換了一下提問(wèn)的角度，前面的問(wèn)題都是先給出原圖，然后提出平移要求，讓學(xué)生畫(huà)出最后所求的圖。而在此題中，兩幅圖均給出，需要學(xué)生說(shuō)出具體平移的步驟。這兩道題考察的學(xué)生學(xué)習(xí)的全面性。學(xué)習(xí)平移，首先要理解平移的含義，其次明白原圖、平移要求和所得圖之間的關(guān)系，只有了解了這三者及他們之間的關(guān)系，才能讀懂做對(duì)圖3圖4中的問(wèn)題，此時(shí)，學(xué)生也就對(duì)平移有了一個(gè)大致的了解了。
圖4
圖4是關(guān)于平行四邊形面積的求法。在此內(nèi)容中，用到了平移的知識(shí)。因?yàn)閷W(xué)生學(xué)過(guò)矩形面積如何去算，可是不會(huì)算平行四邊形的面積。所以，將平行四邊形左半部分延高h(yuǎn)剪下一個(gè)小三角形，再將小三角形平移到平行四邊形的右側(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)正好可以與剩余的部分組成一個(gè)矩形。矩形的長(zhǎng)是平行四邊形的底，矩形的寬是平行四邊形的高（如圖3所示）。于是得出平行四邊形的面積公式S=ah。
旋轉(zhuǎn)
旋轉(zhuǎn)的概念
旋轉(zhuǎn)，也叫做旋轉(zhuǎn)變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點(diǎn)A變換到點(diǎn)A'，滿足：
點(diǎn)A、A'到定點(diǎn)O的距離OA、OA'相等；
∠AOA'等于定角α。
其中，定點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，定角α叫做旋轉(zhuǎn)角。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第181頁(yè)。]
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)變換是第一類全等變換。因此，旋轉(zhuǎn)具有全等變換的一切性質(zhì)。
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ≠180°時(shí)，直線（線段）與其對(duì)應(yīng)直線（線段）的交角等于φ。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第143頁(yè).]
關(guān)于旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題
圖5
圖5出自于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)。在旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容上，教材沒(méi)有安排過(guò)多的內(nèi)容。只是列舉了一些生活的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生去觀察，并且培養(yǎng)學(xué)生的觀察和推導(dǎo)能力。先用具體的圖代替文字解釋什么叫旋轉(zhuǎn)，然后讓同學(xué)們?nèi)ヂ?lián)想，生活中還有哪些事件是旋轉(zhuǎn)，加深學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解。
圖6
圖6出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)。關(guān)于旋轉(zhuǎn)部分的練習(xí)不是很多，主要是讓學(xué)生了解什么是旋轉(zhuǎn)，觀察生活中旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，并且通過(guò)觀察積累經(jīng)驗(yàn)，解答問(wèn)題。例如，家里的電風(fēng)扇，在工作的時(shí)候幾片扇葉就是在旋轉(zhuǎn)，又例如，鐘表在工作的時(shí)候，三個(gè)指針也是在旋轉(zhuǎn)，并且在一年級(jí)下學(xué)期的時(shí)候，學(xué)生就已經(jīng)初步的認(rèn)識(shí)了鐘表。
圖7
圖7出自于百度文庫(kù)。該題是要求三角形面積公式。我們先根據(jù)題目給的三角形，做一個(gè)一模一樣的，然后將其中一個(gè)三角形以一個(gè)頂點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，接著將兩個(gè)三角形拼在一起，形成了一個(gè)平行四邊形。平行四邊形的底是三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高。平行四邊形的面積我們?cè)谏衔闹幸呀?jīng)利用平移解決了，即S=ah，所以在這里我們可以直接使用，最后得出三角形的面積S= ah。
α
圖8
如圖8，學(xué)生玩活動(dòng)角，準(zhǔn)備兩個(gè)紙條，長(zhǎng)短不限，把它們重疊并且捏住它們的一端，將其中一個(gè)紙條的另一端往別的方向拉，把它張開(kāi)形成一個(gè)角。[ 李一帆，角的認(rèn)識(shí)[N]，新課程小學(xué)北京：科學(xué)出版社，2010-7-8,96.]這個(gè)活動(dòng)讓角動(dòng)態(tài)化了，可以讓學(xué)生更直觀地看到角是如何形成的，而不是單純的一個(gè)頂點(diǎn)兩條邊，幫助學(xué)生更好地理解角，并在今后的練習(xí)中避免了一些錯(cuò)誤。
對(duì)稱
對(duì)稱的概念
對(duì)稱是指圖形或物體對(duì)某一點(diǎn)、某條直線或某個(gè)平面的反射運(yùn)動(dòng)，在形狀、大小、長(zhǎng)短和排列等方面都相等或相當(dāng)，具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。軸對(duì)稱和中心對(duì)稱都是對(duì)稱變換。
（1）軸對(duì)稱的概念
兩個(gè)圖形具有一一變換的關(guān)系，如果以每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段都和同一條直線垂直且被平分，那么稱這種變換為軸對(duì)稱（或直線反射），每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)互稱對(duì)稱點(diǎn)，垂直平分對(duì)稱點(diǎn)所連線段的直線叫做對(duì)稱軸。
（2）中心對(duì)稱的概念
中心對(duì)稱實(shí)際上是一種特殊的對(duì)稱，它既與旋轉(zhuǎn)有關(guān)，也與點(diǎn)的軸對(duì)稱有關(guān)。
如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與另一個(gè)圖形完全重合，那么，我們就說(shuō)，這兩個(gè)圖形構(gòu)成中心對(duì)稱。
特別地，如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么，我們就說(shuō)，這個(gè)圖形成中心對(duì)稱圖形。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第189-191頁(yè)。]
對(duì)稱的性質(zhì)
在對(duì)稱的定義中，對(duì)稱的性質(zhì)已經(jīng)基本上全部給出。只有中心對(duì)稱還具有一些特殊的性質(zhì)：
在中心對(duì)稱變換下：
過(guò)對(duì)稱中心的直線是不變直線。
對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過(guò)對(duì)稱中心且被它平分；對(duì)應(yīng)線段相等且反向平行或共線。
不過(guò)對(duì)應(yīng)中心的直線與其對(duì)應(yīng)的直線平行；反之，若兩直線平行，則他們是某個(gè)中心對(duì)稱變換下的兩條對(duì)應(yīng)直線。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第143頁(yè).]
關(guān)于對(duì)稱的問(wèn)題
圖9
圖10
圖9和圖10出自于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)。作為例題，圖9和圖10都非常有代表性。首先，圖9沒(méi)有立即解釋對(duì)稱，而是讓學(xué)生觀察生活中常見(jiàn)的幾幅圖，通過(guò)直觀的印象告訴同學(xué)，這種現(xiàn)象就是對(duì)稱。然后運(yùn)用了折紙和剪紙這兩種學(xué)生較喜歡而且可以帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的活動(dòng)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)對(duì)稱，并且認(rèn)識(shí)一個(gè)新概念：對(duì)稱軸。圖10中水中的倒影、鏡中的影像，都非常貼近生活，可以讓學(xué)生課下自己去觀察對(duì)稱，切身體會(huì)對(duì)稱帶給生活的美。
圖11
圖11出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)。該題和圖10相對(duì)應(yīng)，是圖10中例題的練習(xí)題，都是以鏡面作為對(duì)稱的工具。鏡子是日常生活中非常常見(jiàn)的物品之一，學(xué)生大可以在回家以后自己親身體驗(yàn)鏡子對(duì)稱的奧妙。像右圖中那個(gè)小女孩兒，她明明是左手拿本右手拿筆的，可是在鏡子里她就變成了左手拿筆右手拿本，這是為什么呢。引起了學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生切身體驗(yàn)，通過(guò)觀察自己積累經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，并加深印象。
圖12
圖12出自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)。這道練習(xí)題提問(wèn)的角度和別的題目不大一樣，給出的不是一整幅圖，然后讓學(xué)生做對(duì)稱，而是給出一半的圖，讓學(xué)生填完另一半。在做題的過(guò)程中，自然而然的讓學(xué)生了解了更多的對(duì)稱圖形，同時(shí)向?qū)W生滲透一種對(duì)稱美的觀點(diǎn)。
圖13
圖13兩幅圖出自百度文庫(kù)。
學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)稱，學(xué)習(xí)對(duì)稱軸，自然而然就會(huì)想到一些軸對(duì)稱的圖形。這里列舉了三個(gè)較典型且非常常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形，長(zhǎng)方形、正方形和圓形。給學(xué)生看這三個(gè)圖形，讓他們判斷這三個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形，如果是，有沒(méi)有對(duì)稱軸�？梢詭椭鷮W(xué)生更好的認(rèn)識(shí)圖形。
圖14
圖14出自百度文庫(kù)。該題是求梯形的面積公式。由圖可知，梯形面積公式的推導(dǎo)方法和三角形面積公式的推導(dǎo)方法非常相近。都是先畫(huà)出來(lái)一個(gè)和題目給出的梯形一模一樣的梯形，然后將其中一個(gè)梯形以上底為對(duì)稱軸做軸對(duì)稱，之后將兩個(gè)梯形拼在一起，形成了一個(gè)平行四邊形。平行四邊形的底就是梯形的上底加下底，平行四邊形的高就是梯形的高。由平行四邊形面積公式S=ah可知，梯形面積公式為S= (a+b)h。
圖15
圖15是大家很常見(jiàn)的折紙圖，在很常見(jiàn)，學(xué)生也很感興趣的折紙活動(dòng)中，我們也可以看到對(duì)稱的身影。 通過(guò)折紙活動(dòng)，分析留在紙張上的折痕，我們能夠揭示出大量幾何的對(duì)象和性質(zhì)：軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、全等、相似性、比例及類似于幾何分形結(jié)構(gòu)的迭代（在圖案內(nèi)不斷地重復(fù)圖案）等幾何性質(zhì)。這些鮮活的、可視的過(guò)程，給學(xué)生提供了彌補(bǔ)思維過(guò)程中的斷缺部分，更能符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。
平面幾何中的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱概念，不僅在日常生活中應(yīng)用廣泛，同時(shí)，也是幾何學(xué)的重要內(nèi)容。簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題就是應(yīng)用這類內(nèi)容的典型案例。下面就是簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)典型案例。[ 本部分參考：上海市金匯學(xué)校課題組。簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題與對(duì)稱教學(xué)[J]，數(shù)學(xué)教學(xué)，1999，（2）：31,4.]
（1）提出問(wèn)題
郵遞員從郵局出發(fā)，要把信件送到8個(gè)地方，再回到原地，請(qǐng)為郵遞員設(shè)計(jì)送信的線路，在完成任務(wù)的前提下使得路程盡可能短。即如圖16所示， △ ● ●
有3×3=9（個(gè)）整齊排列的點(diǎn)，其中左上角帶△的點(diǎn)表示郵局， ● ● ●
請(qǐng)用線段把這些點(diǎn)連接起來(lái)，并且線段不重復(fù)。 ● ● ●
解決問(wèn)題； 圖16
發(fā)給學(xué)生每人16個(gè)如圖16所示的圖形。
先由學(xué)生根據(jù)要求，獨(dú)立畫(huà)出線路圖；
通過(guò)組內(nèi)交流去掉重復(fù)的線路圖；
選取其中一個(gè)小組的所有設(shè)計(jì)方案，將其張貼在黑板上。
要求學(xué)生：
一方面，去掉不合理的線路圖，即去掉從郵局出發(fā)而最后沒(méi)法回到郵局的情況，以及8個(gè)送信地點(diǎn)中有遺漏或重復(fù)的情況。
另一方面，挑選其中的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。那么，怎么樣的設(shè)計(jì)方案才是符合問(wèn)題要求的最優(yōu)方案呢？回答是“線路不重復(fù)，而且距離必須最短”。
圖16中9點(diǎn)之間的連線有直線段和斜線段兩種，每種設(shè)計(jì)方案最后的送信距離，我們都可以用“m條直線段+n條斜線段”來(lái)表示。于是，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算每一個(gè)方案中的直線段和斜線段的數(shù)目，比如有：
直線段（m）：8 7 8
斜線段（n）：1 2 2
要是距離最短，必須滿足什么條件呢？
由于連接9個(gè)點(diǎn)，至少要有9條線段，而且斜線短長(zhǎng)與直線段，所以，盡可能使斜線段的數(shù)目最少。因?yàn)檫B接9點(diǎn)得9條線段中，必須有一條是斜線段。因此，滿足最短距離的設(shè)計(jì)方案其直線段是8條，斜線段是1條。
小組交流；
在得到什么是最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的基礎(chǔ)上，要求其他小組的學(xué)生，根據(jù)判斷標(biāo)準(zhǔn)，補(bǔ)充符合要求的不同的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。
歸納總結(jié)
將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，把設(shè)計(jì)方案抽象為幾何圖形。
通過(guò)對(duì)圖形的觀察、比較，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系和規(guī)律。比如：
一個(gè)圖形可以通過(guò)另一個(gè)圖形的旋轉(zhuǎn)而得到。
一個(gè)圖形可以通過(guò)另一個(gè)圖形的翻轉(zhuǎn)（即軸對(duì)稱）而得到。
一個(gè)圖形可以通過(guò)另一個(gè)圖形的翻轉(zhuǎn)（即軸對(duì)稱）再旋轉(zhuǎn)得到。
通過(guò)分類，總結(jié)歸納出所有可能的圖形。比如：
按斜線的缺口方向可分成四類，每個(gè)方向有兩個(gè)圖形，所以，一共有8個(gè)圖形。
將其中一個(gè)圖形按順時(shí)針?lè)较蚋餍D(zhuǎn)90°，得到四個(gè)圖形；將其中的一個(gè)圖形翻轉(zhuǎn)，再按順時(shí)針?lè)较蚋餍D(zhuǎn)90°，又可得到四個(gè)圖形。即：
a b c d
▼ ● ● 旋轉(zhuǎn) ▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
翻轉(zhuǎn)
▼ ● ● 旋轉(zhuǎn)▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
e f g h
圖17
其中：a與e，c與g，d與f是上下對(duì)稱關(guān)系，a與g，b與f，c與e，d與h是左右對(duì)稱關(guān)系，而任意一個(gè)圖形，都可以通過(guò)另一個(gè)圖形的旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱而得到（圖17）。
由圖形再回到實(shí)際問(wèn)題。
由③的討論，我們得到，符合條件的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的圖形共有8種，考慮到實(shí)際問(wèn)題，對(duì)每種圖形，郵遞員可有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種行走方，所以，原問(wèn)題的最優(yōu)線路有16種。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,185-186.]
平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱之間的關(guān)系
對(duì)同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱，如果兩個(gè)對(duì)稱軸互相平行，那么，這兩次軸對(duì)稱的結(jié)果等同于一次平移；
對(duì)同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱，如果兩個(gè)對(duì)稱軸相交，那么，這兩次軸對(duì)稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)。
反過(guò)來(lái)，對(duì)一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過(guò)連續(xù)的兩次軸對(duì)稱來(lái)替代完成；對(duì)一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過(guò)連續(xù)的兩次軸對(duì)稱來(lái)完成。
小學(xué)幾何變換的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要具象的、直觀的操作，讓學(xué)生親自經(jīng)歷直觀操作，是小學(xué)生幾何學(xué)習(xí)所必需的。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)立足在生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，這些生活化、零散的經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)，為開(kāi)展直觀的幾何學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)。
與此同時(shí)，小學(xué)幾何變換的課程教學(xué)僅限于在方格紙上進(jìn)行，也就是沿著平行、垂直于方格紙的兩個(gè)格的邊緣線進(jìn)行，不涉及直接按斜線方向運(yùn)動(dòng)的情形。
參考文獻(xiàn)
[1]張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,178-202.
[2]王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,142-147.
[3]李一帆，角的認(rèn)識(shí)[N]，新課程小學(xué)，2010-7-8,96.
[4]袁康榮，板塊設(shè)計(jì)，以點(diǎn)帶畫(huà)--“角的認(rèn)識(shí)”第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)[J]，小學(xué)時(shí)代（教師），2010-2.
[5]卞恩鴻，射線、直線和角的認(rèn)識(shí)[J]，新課程（小學(xué)版），2010-6.
[6]林靜，淺談幾何變換在初中平面幾何教學(xué)的探究[J]，福建論壇（社科教育版）2010-4.
[7]胡軍，以不同圖形為背景的旋轉(zhuǎn)變換[J]，初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011年第5期.
[8]陳紹華，運(yùn)用幾何變換巧解題[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2010年18期.
[9]吳復(fù)，用旋轉(zhuǎn)變換解題[J]，數(shù)學(xué)大世界：初中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)，2010年4期.
[10]鄔佩芬，幾何變換在數(shù)學(xué)解題中的作用[J]，寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)北京，2003年1期.
[11]上海市金匯學(xué)校課題組。簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題與對(duì)稱教學(xué)[J]，數(shù)學(xué)教學(xué)，1999，（2）：31,4.