高等代數(shù)教學(xué)中的一些想法的論文
一、引言
高等代數(shù)[1]是理工科大學(xué)生的基礎(chǔ)課, 對(duì)數(shù)學(xué)系的學(xué)生尤其重要.它的教學(xué)質(zhì)量的高低直接關(guān)系到理工科大學(xué)生的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)和后繼課程的學(xué)習(xí), 提高其教學(xué)質(zhì)量對(duì)培養(yǎng)高層次人才具有重要意義[2].
高等代數(shù)包括多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐式空間、雙線性函數(shù)與辛空間等內(nèi)容, 對(duì)理工科的大學(xué)生來(lái)說(shuō)課程內(nèi)容量多, 教學(xué)課時(shí)緊, 理解難度較大, 學(xué)生普遍感覺(jué)學(xué)習(xí)比較吃力.筆者近年來(lái)主要在數(shù)學(xué)系從事高等代數(shù)的教學(xué)工作, 針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)這門(mén)課程中存在的上述問(wèn)題, 總結(jié)歸納了幾個(gè)方面, 期望對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和同行教師的教學(xué)有所幫助, 共同改進(jìn)和提高高等代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量.
二、具體問(wèn)題 (注:本文中的教材均指參考文獻(xiàn)[1], 以后不再詳細(xì)贅述)
1. 關(guān)于"階梯形矩陣"的理解和運(yùn)用.
教材P72給出了"階梯形矩陣"的文字定義, 但學(xué)生普遍反映該定義較抽象, 理解難度較大, 筆者建議學(xué)生可同時(shí)參看另一本書(shū)[3]給出的相關(guān)內(nèi)容.在[3]中不僅給出了"階梯形矩陣"具體數(shù)學(xué)表達(dá)式的定義, 還給出了什么是"階梯頭", 以及一類(lèi)特殊的階梯形矩陣---約化階梯形矩陣 (也稱為行最簡(jiǎn)形) .實(shí)踐證明, 學(xué)生若理解階梯頭的概念和約化階梯形矩陣, 對(duì)其解題幫助甚多.對(duì)此類(lèi)問(wèn)題, 可用兩種方法求解.
分析:方法1是教材上給出的傳統(tǒng)解法, 也是大多數(shù)教師在講解第三章內(nèi)容時(shí)所用的方法;方法2是筆者將方法1解答過(guò)程中得到的階梯形矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q進(jìn)一步化為約化階梯形矩陣, 進(jìn)而求解方程組.表面上看, 兩種方法復(fù)雜程度相當(dāng), 實(shí)際上方法2比方法1快捷, 因?yàn)榛癁榧s化階梯形矩陣以后, 每個(gè)階梯頭都是1, 該列其余所有的元素均為0, 因此與原方程組等價(jià)同解的方程組 (如上述方程組 (*) ) 就非常容易求解, 其解一目了然.[4]
2. 教材P188給出引理:
對(duì)一個(gè)s×n矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的s×s初等矩陣, 對(duì)A作一初等列變換就相當(dāng)于在A的'右邊乘上相應(yīng)的n×n的初等矩陣, 我們不妨簡(jiǎn)記為"左乘行變, 右乘列變",
P191給出定理6:n級(jí)矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積:A=Q1Q2…Qm,
利用該引理和定理6, 筆者給出教材P180定理4的另一種簡(jiǎn)單證明方法.
定理4 A是一個(gè)s×n矩陣, 如果P是s×s可逆矩陣, Q是n×n可逆矩陣, 那么
證明:因?yàn)镻是可逆矩陣, 根據(jù)定理6, 它能表成一些初等矩陣的乘積:
根據(jù)引理, 矩陣X1X2…XmA (即PA) 相當(dāng)于對(duì)矩陣A作m次的初等行變換, 由于初等變換不改變矩陣的秩, 故秩 (A) =秩 (P A) .
另一個(gè)等式可同樣證明.
3. 分塊矩陣的分塊原則.
教材第三章第五節(jié)講到了"矩陣的分塊", 但是并沒(méi)有很直接地說(shuō)明相關(guān)問(wèn)題, 比如是否對(duì)每一個(gè)矩陣的計(jì)算都適合用分塊的方法, 以及分塊時(shí)如何去進(jìn)行.
首先需要明確:并不是所有的矩陣都適合用分塊的方法去計(jì)算.總結(jié)講解高等代數(shù)的相關(guān)書(shū)籍, 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律:對(duì)于一般矩陣而言, 只有將其分塊以后能分出諸如零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣等特殊的子矩陣, 我們一般才考慮用分塊的方法去計(jì)算.
這樣的例子有很多, 如教材P181所給的例子:
按照教材上的分塊方法, 矩陣A分成的四個(gè)子矩陣中, 包括兩個(gè)2級(jí)單位矩陣和一個(gè)2級(jí)零矩陣.
當(dāng)然上述規(guī)律也不盡然, 對(duì)一些特別的矩陣, 可能分塊以后并沒(méi)有上面提到的一些特殊子矩陣, 但是實(shí)踐證明也較適用分塊的方法.讀者可參看教材P203第28題, 對(duì)于矩陣A,
本題要求用兩種方法求逆矩陣, 一是初等變換, 二是矩陣分塊.讀者通過(guò)用兩種方法分別計(jì)算可知, 本題用第二種方法較為簡(jiǎn)便.
4. 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組P125:
定義13一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組, 如果這個(gè)部分組本身是線性無(wú)關(guān)的, 并且從這向量組中任意添加一個(gè)向量 (如果還有的話) , 所得的部分向量組都線性相關(guān).
齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系P142:
定義17齊次線性方程組 (1) (見(jiàn)教材P141) 的一組解η1, η2, …, ηt稱為它的基礎(chǔ)解系, 如果 (1) (1) 的任一個(gè)解都能表成η1, η2, …, ηt的線性組合; (2) η1, η2, …, ηt線性無(wú)關(guān).
線性空間的一組基P249:
定義6在n維線性空間V中, n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量ε1, ε2, …, εn稱為V的一組基.設(shè)α是V中任一向量, 于是ε1, ε2, …, εn, α線性相關(guān), 因此α可以被基ε1, ε2, …, εn線性表出:α=a1ε1+a2ε2+…anεn.
三者的區(qū)別與聯(lián)系:區(qū)別是很明顯的, 無(wú)須多言.聯(lián)系在于:齊次線性方程組的任一個(gè)解本質(zhì)上都是一個(gè)解向量, 因此從定義上可看出, 齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系即是它所有解構(gòu)成的解向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.同樣的道理可知, 線性空間的一組基也為該空間中所有向量組成向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.又向量本質(zhì)上為矩陣, 故對(duì)三者的各類(lèi)求解問(wèn)題, 雖然表面差別很大, 但實(shí)質(zhì)都是考察矩陣的行 (列) 初等變換、化為階梯形矩陣、秩、找出極大線性無(wú)關(guān)組等問(wèn)題, 殊途同歸.具體例子請(qǐng)參看教材P271第17題.
5. 對(duì)矩陣秩r的全面理解.
教材P134定理6:一矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)r級(jí)子式不為零, 同時(shí)所有r+1級(jí)子式全為零.
這里補(bǔ)充注意兩個(gè)問(wèn)題:
(1) 對(duì)該矩陣A而言, 其所有的k (≤r-1) 級(jí)子式均不全為零.因?yàn)橛尚辛惺桨匆恍姓归_(kāi)的公式可知, 如果矩陣A的k (≤r-1) 級(jí)子式全為零, 則矩陣A的k+1級(jí)子式全為零, 從而A的所有級(jí)數(shù)大于k的子式全為零.顯然r≥k+1, 故A的所有級(jí)數(shù)為r的子式全為零, 與定理?xiàng)l件"有一個(gè)r級(jí)子式不為零"相矛盾.
(2) 同 (1) 分析可知, 若矩陣A的k+1級(jí)子式全為零, 則A的所有級(jí)數(shù)大于k+1的子式也必然全為零, 從而可以說(shuō):此時(shí), A的所有級(jí)數(shù)大于k的子式全為零.
綜合以上兩點(diǎn), 可將定理6換一種定義說(shuō)法, 即:一矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣的非零子式的最高級(jí)數(shù)為r級(jí).
三、總結(jié)
高等代數(shù)是理工科大學(xué)生一門(mén)非常重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課.本文總結(jié)了高等代數(shù)教學(xué)過(guò)程中幾個(gè)容易被忽視而對(duì)整個(gè)知識(shí)體系的理解又非常關(guān)鍵的問(wèn)題, 旨在幫助學(xué)生們更好地把握整個(gè)代數(shù)知識(shí)框架的脈絡(luò), 同時(shí)也期望為從事這門(mén)課程教學(xué)的教師同行們提供積極的教學(xué)參考.
參考文獻(xiàn)
[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].第4版.北京:高等教育出版社, 2013.
[2]張華民, 殷紅彩.高等代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)思考[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2014, 20 (1) :90-93.
[3]陳維新.線性代數(shù)[M].第2版.北京:科學(xué)出版社, 2005.
[4]張盛祝, 蔡禮明, 胡余旺.高等代數(shù)內(nèi)容、方法及典型問(wèn)題[M].北京:中國(guó)石化出版社, 2014.
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