淺析電磁彈性薄板振動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展論文
引言
電磁效應(yīng)是變形場(chǎng)同電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)在彈性固體內(nèi)外產(chǎn)生相互作用的一種效應(yīng)。在線性狀態(tài)的范圍內(nèi)，此效應(yīng)無(wú)論是對(duì)電介質(zhì)，還是對(duì)導(dǎo)電物體均具各式各樣的數(shù)學(xué)模型。最近幾年，把研究此效應(yīng)的新興學(xué)科稱(chēng)為耦合場(chǎng)理論。其中，磁彈性理論將專(zhuān)門(mén)研究電磁場(chǎng)同變形場(chǎng)的耦合，即研究在彈性固態(tài)物體中電磁場(chǎng)同變形場(chǎng)的相互作用。這個(gè)理論基本是線彈性理論和在自由運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中線性電動(dòng)力學(xué)理論的耦合。如果所研究的彈性體位于初始強(qiáng)大的磁場(chǎng)中，機(jī)械荷載、熱荷載在引起變形場(chǎng)的同時(shí)，將要產(chǎn)生電磁場(chǎng)。兩個(gè)場(chǎng)將發(fā)生相互作用和相互影響，出現(xiàn)耦合機(jī)制。電磁場(chǎng)對(duì)變形場(chǎng)的作用是由運(yùn)動(dòng)方程中的洛侖茲力引起。變形場(chǎng)會(huì)影響磁場(chǎng)的強(qiáng)度、磁彈性波和電磁波的傳播速度與位相，具體表現(xiàn)在歐姆定律中多了電流密度增長(zhǎng)項(xiàng)，而且該項(xiàng)取決于變形物體在磁場(chǎng)中的位移速度。
電磁結(jié)構(gòu)的磁彈性非線性問(wèn)題理論的廣泛研究對(duì)于處在高溫、高壓和強(qiáng)電磁場(chǎng)作用下的結(jié)構(gòu)元件的設(shè)計(jì)、制造及可靠性分析都具有非常重要的意義。當(dāng)電磁結(jié)構(gòu)處在外加電磁場(chǎng)環(huán)境中時(shí)，一方面電磁結(jié)構(gòu)受到電磁力作用而變形; 另一方面結(jié)構(gòu)的變形又導(dǎo)致電磁場(chǎng)發(fā)生改變進(jìn)而使電磁力的分布發(fā)生變化。對(duì)于載流導(dǎo)電體，其電磁力為L(zhǎng)orentz 力; 對(duì)于可極化或可磁化的電磁介質(zhì)材料，電磁力是通過(guò)電極化或磁化與外界電磁場(chǎng)相互作用而產(chǎn)生的。這種電磁場(chǎng)與力學(xué)場(chǎng)相互耦合的一個(gè)基本特征就是非線性，即使將電磁場(chǎng)與力學(xué)場(chǎng)分別處理為線性的，經(jīng)耦合后的電磁彈性力學(xué)邊值方程仍呈非線性，這無(wú)疑給磁彈性理論的力學(xué)行為的定量分析帶來(lái)難度，使它成為近代力學(xué)研究中的一個(gè)極富挑戰(zhàn)性的課題。
1 薄板磁彈性振動(dòng)問(wèn)題的研究
國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電磁彈性振動(dòng)問(wèn)題已經(jīng)做了大量的研究，取得了很多成果。
Pan E 等研究了支持多層板的電磁彈性振動(dòng)解。C. L. Zhang 等研究了多鐵疊層板殼的電磁影響。Yang Gao 等總結(jié)了研究磁彈性板殼結(jié)構(gòu)的精細(xì)理論。A. Dorfmann 和R. W. Ogden 等學(xué)者對(duì)非線性磁彈性體的變形作了大量的研究工作，得到一些有益的結(jié)論。
胡宇達(dá)和白象忠以磁彈性基本假設(shè)為出發(fā)點(diǎn)，給出了傾斜磁場(chǎng)中無(wú)限長(zhǎng)條形薄板的磁彈性運(yùn)動(dòng)方程及電動(dòng)力學(xué)方程，并推得了兩長(zhǎng)邊簡(jiǎn)支薄板的磁彈性振動(dòng)特征方程式。算例表明，磁場(chǎng)因素的存在，將不同程度地影響著傳導(dǎo)薄板的振動(dòng)情況，從而可達(dá)到控制該磁場(chǎng)環(huán)境中薄板振動(dòng)的目的。
戴宏亮等給出了在橫向磁場(chǎng)作用下，各向異性厚壁圓筒磁彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解析解。磁彈性運(yùn)動(dòng)平衡方程中考慮了慣性效應(yīng)和橫向磁場(chǎng)中的Lorentz 力的影響。利用相應(yīng)的有限Hankel 變換和Laplace 變換，求得在橫向磁場(chǎng)作用下，各向異性厚壁圓筒的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)歷程及筒體內(nèi)磁場(chǎng)矢量擾動(dòng)響應(yīng)規(guī)律。
胡宇達(dá)由虛功原理給出了磁場(chǎng)中薄板的磁彈性耦合運(yùn)動(dòng)方程，采用多尺度法求出了橫向磁場(chǎng)中條形板非線性振動(dòng)的近似解，通過(guò)算例分析了磁場(chǎng)環(huán)境對(duì)振動(dòng)周期和幅值的影響。
茍興華和張發(fā)祥給出了多層彈性導(dǎo)電層合板在恒定磁場(chǎng)中的彎曲、穩(wěn)定和振動(dòng)的基本方程[11]。Амарцумян 等給出的均勻、各向同性、彈性導(dǎo)電扳的著名方程是此文的特殊情形。
Hasanyan 等研究了橫向磁場(chǎng)中幾何非線性、有限導(dǎo)電、各向同性彈性板帶的.振動(dòng)行為。用基爾霍夫假設(shè)與馮卡門(mén)應(yīng)變概念來(lái)建立機(jī)械模型，而通過(guò)Ambartsumyan 等提出的假設(shè)建立電場(chǎng)和磁場(chǎng)干擾沿板帶的厚度方向分布模型。研究了磁場(chǎng)和電導(dǎo)率對(duì)板帶振動(dòng)的影響，并在弱磁場(chǎng)和高電導(dǎo)率兩個(gè)特殊情況下，通過(guò)多重尺度法求的了系統(tǒng)振動(dòng)的非線性固有頻率。最后，得出了一些有關(guān)的結(jié)論。
Hu YD 等研究了薄板受到機(jī)械載荷作用兩邊簡(jiǎn)支薄板的非線性主共振和組合共振及其解的穩(wěn)定性問(wèn)題。采用多尺度法和平均法進(jìn)行求解，得到了穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下的幅頻響應(yīng)方程. 最后，通過(guò)算例，給出了相應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線圖和時(shí)間歷程圖，分析了板厚、磁場(chǎng)及激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。
2 薄板熱彈耦合振動(dòng)研究
熱彈耦合振動(dòng)是以熱彈耦合和振動(dòng)理論為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新興的研究方向。熱效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響已經(jīng)成為科技和工程界日益關(guān)注的重大課題。溫度的改變經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致工程構(gòu)件的破壞。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在板的熱彈耦合振動(dòng)方面也作了大量的研究，并取得了許多成果。
李忠學(xué)和嚴(yán)宗達(dá)研究了周邊固支的矩形板上表面受均勻分布熱流沖擊的熱彈耦合問(wèn)題。首先利用算子法將熱傳導(dǎo)方程由三維降為二維，和二維的熱彈性運(yùn)動(dòng)方程相協(xié)調(diào)，然后利用雙重傅里葉級(jí)數(shù)和拉普拉斯變換的方法消去方程中對(duì)時(shí)間的微分相，最后利用正交奇異法求解方程。
蔣嘉俊和顧皓中研究了矩形板耦合熱沖擊問(wèn)題的攝動(dòng)解。通過(guò)對(duì)薄板耦合熱彎曲問(wèn)題的完備方程的無(wú)量綱化，引出了關(guān)于薄板的無(wú)量綱熱彈性耦合系數(shù)，并以此系數(shù)為攝動(dòng)參數(shù)，運(yùn)用奇異攝動(dòng)方法，導(dǎo)出了其攝動(dòng)方程，得到了關(guān)于矩形薄板耦合熱沖擊問(wèn)題的一致有效的漸近解。
吳曉在考慮溫度對(duì)傾斜矩形板材料彈性模量影響的基礎(chǔ)上，采用Galerkin 法、M elnikov - Holmes 及Melnikov 原理研究了傾斜矩形板在熱狀態(tài)下的振動(dòng)分岔，并討論分析了溫度、長(zhǎng)寬比、板厚、傾斜角對(duì)矩形板發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域的影響。
樹(shù)學(xué)鋒等人研究了圓板的非線性熱彈耦合振動(dòng)問(wèn)題，采用Galerkin 法進(jìn)行求解，他們認(rèn)為: 熱彈耦合效應(yīng)對(duì)非線性振動(dòng)的影響主要是引起振幅衰減，熱彈耦合效應(yīng)越大，振幅衰減的越快。當(dāng)圓板的初始撓度較小時(shí)，耦合效應(yīng)使板的振動(dòng)頻率加快，反之，則耦合效應(yīng)使板的振動(dòng)頻率減小。邊界條件對(duì)耦合效應(yīng)有較大的影響，較強(qiáng)的邊界條件使熱彈耦合自由振動(dòng)的頻率變低但振蕩幅度增大。尹益輝等利用有限Hankel 變換法，導(dǎo)出了周界等溫彈性支撐圓薄板在激光束輻照下的軸對(duì)稱(chēng)耦合熱彈性彎曲振動(dòng)近似解; 針對(duì)具有不同彈性模量和熱膨脹系數(shù)的薄板進(jìn)行了熱力耦合和非耦合彎曲振動(dòng)的解析和有限元計(jì)算與分析。
Yen - Liang Yeh 對(duì)大變形簡(jiǎn)支正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動(dòng)作了研究。導(dǎo)出了大撓度正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動(dòng)的偏微分方程并用遼金法簡(jiǎn)化為三階非線性常微分方程的。建模結(jié)果的數(shù)值模擬表明，簡(jiǎn)支正交異性矩形薄板振幅隨著正交異性材料各種參數(shù)衰變的。李世榮等研究了薄板在周期熱流作用下的溫度響應(yīng)。首先采用分離變量法，求解了以熱流矢量為基本未知量的熱傳導(dǎo)方程，得到了板內(nèi)熱流場(chǎng)分布，然后再利用能量守恒方程，獲得了板內(nèi)溫度響應(yīng)的解析表達(dá)式。
通過(guò)計(jì)算，分析了板內(nèi)溫度響應(yīng)隨不同熱流矢量延遲相以及邊界熱流頻率的變化趨勢(shì)，并與經(jīng)典的Fourier 熱傳導(dǎo)方程所得到的結(jié)果進(jìn)行了比較。
侯鵬飛等對(duì)表面熱力耦合均載作用下的簡(jiǎn)支圓板應(yīng)力作了研究。針對(duì)表面熱力耦合均載作用下的簡(jiǎn)支空心和實(shí)心圓板，構(gòu)造了3 個(gè)含有待定常數(shù)的單調(diào)和函數(shù)，將其代入用單調(diào)和函數(shù)表示的橫觀各向同性熱彈性材料的通解，獲得了表面熱力耦合均載作用下的簡(jiǎn)支空心圓板內(nèi)熱彈性場(chǎng)的解，再將所得解代入邊界條件獲得了確定待定常數(shù)和組合待定常數(shù)的線性方程組。經(jīng)過(guò)合理退化進(jìn)一步得到了實(shí)心圓板對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解，所得各解都是用初等函數(shù)表示，非常方便工程應(yīng)用。算例給出了在熱力耦合載荷作用下的簡(jiǎn)支空心圓板內(nèi)熱彈性場(chǎng)的分布。
N. S. Al - Huniti 和M. A. Al - Nimr 采用雙曲熱傳導(dǎo)模式集中分析了加熱下的復(fù)合薄板的熱彈性響應(yīng)。P. Ram 等研究了具有調(diào)諧的弛豫時(shí)間下廣義熱彈性擴(kuò)散問(wèn)題的熱力響應(yīng)。
3 板殼熱磁彈性理論研究
熱磁彈性理論是專(zhuān)門(mén)研究電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)同變形場(chǎng)的耦合效應(yīng)。熱磁彈性理論的產(chǎn)生，對(duì)于處在高溫、高壓和強(qiáng)電場(chǎng)作用下的結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)元件的強(qiáng)度與可靠性的分析具有非常重要的意義。對(duì)溫度場(chǎng)、電磁場(chǎng)與導(dǎo)體、變形物體間的相互作用問(wèn)題的研究才剛剛起步，與該理論相關(guān)的許多因素尚未考慮，其中大部分是在沒(méi)有考慮磁和電的極化特征的前提下進(jìn)行的。當(dāng)彈性物體材料具有磁極化特征時(shí)，場(chǎng)相互作用的機(jī)制將會(huì)顯著地復(fù)雜化。一些學(xué)者致力于磁彈性、熱磁彈性理論的實(shí)際應(yīng)用研究，同時(shí)在實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域內(nèi)，開(kāi)始對(duì)磁彈性、熱磁彈性力學(xué)效應(yīng)，以及對(duì)耦合場(chǎng)作用下的振型及其穩(wěn)定性進(jìn)行測(cè)試，提出了一些實(shí)際應(yīng)用的建議和設(shè)想。
戴宏亮和戴慶華研究了厚壁圓筒在熱、磁耦合作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。運(yùn)用力學(xué)和電磁場(chǎng)的知識(shí)對(duì)厚壁圓筒結(jié)構(gòu)建立平衡方程，并通過(guò)Laplace和Hankel 積分變化對(duì)物理方程進(jìn)行變換，得到一個(gè)可解的方程形式。提出了一種解析方法求解雜熱磁沖擊作用下厚壁圓筒的動(dòng)應(yīng)力和磁場(chǎng)矢量擾動(dòng)，得到柱體內(nèi)動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)歷程和分布規(guī)律及磁場(chǎng)矢量擾動(dòng)的響應(yīng)歷程和分布規(guī)律。實(shí)例計(jì)算表明，該方法是簡(jiǎn)單、有效，并給出了一些有實(shí)際意義的結(jié)果。
王省哲和鄭小靜利用鐵磁介質(zhì)的磁熱彈性廣義變分原理和模型，以及磁彈性線性化方法和攝動(dòng)技術(shù)，對(duì)鐵磁梁式薄板在磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)共同作用下的多場(chǎng)耦合的力學(xué)行為進(jìn)行了研究，解析的分析了鐵磁梁式板的磁熱彈性屈曲失穩(wěn)，并給出了鐵磁梁式板隨外加磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)變化下的多場(chǎng)耦合穩(wěn)定特征。
侯鵬飛等研究了耦合均載作用下的電磁熱彈性簡(jiǎn)支圓板。構(gòu)造了5 個(gè)含有待定常數(shù)的單調(diào)和函數(shù)，將其代入用單調(diào)和函數(shù)表示的橫觀各向同性電磁熱彈性材料的通解，獲得了表面力電磁熱耦合均載作用下的簡(jiǎn)支空心圓板內(nèi)耦合場(chǎng)的解，再將所得解代入邊界條件獲得確定待定常數(shù)的線性方程組。該解可以退化得到實(shí)心圓板對(duì)應(yīng)問(wèn)題的解。所得各解都是用初等函數(shù)表示，非常方便于工程應(yīng)用。算例比較了在相同熱力載荷作用下，具有相同物理常數(shù)的熱彈性空心圓板、壓電熱彈性空心圓板和電磁熱彈性空心圓板內(nèi)的彈性場(chǎng)。
何天虎和田曉耕基于Lord 和Shulman 廣義熱彈性理論，研究了熱、電可導(dǎo)的半無(wú)限大體電磁熱彈耦合的二維問(wèn)題。半無(wú)限大體受熱和外加恒定磁場(chǎng)的作用，文中建立了電磁熱彈性耦合的控制方程，零用正則模態(tài)法求解得到了所考慮物理量的解吸解，并用圖形反映了各物理量的分布規(guī)律，從分布圖上可以看出，介質(zhì)中出現(xiàn)了電磁熱彈耦合效應(yīng)，各物理量的非零值僅在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)。
H. L. Dai 和X. Wang 等學(xué)者研究了磁場(chǎng)矢量在非均質(zhì)、正交異性熱彈性圓柱體和擾動(dòng)正交異性復(fù)合空心圓柱的磁熱應(yīng)力，以及在熱沖擊和激勵(lì)下壓電層合球殼應(yīng)力波的傳播。雖然這些研究在某種程度上還處于初級(jí)階段，但從目前研究的結(jié)果看，這對(duì)于改善殼體的工作狀態(tài)是非常有益的。
4 彈性薄板混沌運(yùn)動(dòng)研究
混沌表示一類(lèi)在確定性系統(tǒng)中發(fā)生的類(lèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，它不是由隨機(jī)性外因引起，而是由確定性方程直接得到的具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)�；煦邕\(yùn)動(dòng)是許多非線性系統(tǒng)的典型行為，在許多工程結(jié)構(gòu)中薄板薄殼就具有類(lèi)似的工作特性。因此，對(duì)板殼的混沌運(yùn)動(dòng)特性研究具有重要的理論和實(shí)踐意思。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面都做了不少研究工作。J. Awrejcewicz 等研究了各種板、板帶在不同支撐和邊界條件以及載荷下的非線性振動(dòng)特性與分岔、混沌特性[30 - 31]。
Wei - Zhang 等用Galerkin 法從馮卡門(mén)方程導(dǎo)出一般方程，分析了在參數(shù)和外激勵(lì)力作用下的矩形薄板、2 自由度的條形板梁、懸臂梁以及非自治的屈曲薄板的局部和全局分岔。
葉建軍討論了具有均勻介質(zhì)的彈性矩形薄板在微擾下產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的條件。徐耀寰和蔡宗熙用Melnikov - Holmes 方法研究四邊簡(jiǎn)支的彈性矩形薄板可能發(fā)生混沌振動(dòng)的臨界條件。米晉生等考慮材料的非線性粘彈性效應(yīng)，建立了板條的橫向動(dòng)力方程，利用Melnikov 函數(shù)法給出了系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界條件，最后對(duì)通向混沌的道路進(jìn)行了討論。
高原文等在磁體力分布的磁彈性理論模型和磁場(chǎng)準(zhǔn)靜態(tài)假定模式基礎(chǔ)上，對(duì)于處在周期時(shí)變磁場(chǎng)中的不可移簡(jiǎn)支鐵磁架式板非線性磁彈性動(dòng)力特性進(jìn)行定性與定量分析。首先利用磁場(chǎng)的攝動(dòng)技術(shù)和結(jié)構(gòu)變形的模態(tài)法，導(dǎo)出了關(guān)于模態(tài)坐標(biāo)的非線性動(dòng)力方程; 然后利用Melnikov 方法，從理論上給出這一磁彈性動(dòng)力系統(tǒng)可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件及參數(shù)范圍; 最后利用變步長(zhǎng)Runlge - Kutta 數(shù)值積分方法對(duì)其磁彈性相互作用的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了定量搜索與模擬，并利用其軌跡的Poincare 截面圖與Liapunov 指數(shù)加以判斷。結(jié)果表明，磁彈性簡(jiǎn)支粱式板在橫向周期時(shí)變磁場(chǎng)中存在混沌吸引子，且在機(jī)械阻尼很小時(shí)其混沌吸引子表現(xiàn)出稠的特性。
吳曉采用Melnikov 法及Galerkin 原理研究了屈曲黏彈性矩形板的非線性振動(dòng)分岔，并討論分析了長(zhǎng)寬比、板厚等因素對(duì)屈曲黏彈性矩形板發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域的影響。
Yeh YL 等對(duì)熱彈非耦合圓板和熱彈耦合矩形板的分岔與混沌作了研究。
王新志等推導(dǎo)出圓薄板的動(dòng)力變分方程，用Galerkin 法得到一個(gè)三次非線性振動(dòng)方程，用Flouquet指數(shù)和Melnikov 方法分別研究了圓板的分岔問(wèn)題和可能發(fā)生的混沌振動(dòng)。Hsin - Yi Lai 等利用分形維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)的判斷準(zhǔn)則，提出了一種新的方法來(lái)描述簡(jiǎn)支大撓度矩形板有可能導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)的條件首先推導(dǎo)得到簡(jiǎn)支矩形板控制偏微分方程，然后用Galerkin 方法將其簡(jiǎn)化為兩個(gè)常微分方程。
薛春霞和樹(shù)學(xué)鋒研究處于橫向均勻磁場(chǎng)中四邊簡(jiǎn)支的軟鐵磁矩形薄板，在橫向均布載荷作用下，主要考慮因磁化和渦電流引起的磁場(chǎng)力作用，由伽遼金法推導(dǎo)出磁彈性振動(dòng)微分方程，求得了系統(tǒng)的同宿軌道參數(shù)方程; 并推導(dǎo)和求解了振動(dòng)系統(tǒng)的同宿軌道的Melnikov 函數(shù)，給出了判斷該系統(tǒng)發(fā)生Sma1e 馬蹄變換意義下混沌振動(dòng)的條件和混沌判據(jù)，進(jìn)一步應(yīng)用Matlab 程序?qū)ο到y(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了數(shù)值模擬得到相應(yīng)的相圖、龐加萊截而圖和時(shí)程曲線圖，驗(yàn)證了混沌現(xiàn)象的存在。
Chin，C 和Nayfeh，A. H. 研究了外激勵(lì)下圓柱彈性殼的分岔和混沌。P. Riberiro 和R. P.Duarte 研究了從周期向混沌振蕩的復(fù)合材料層合板。Xiaoling He 用解耦的模態(tài)分析法研究了受熱載作用下簡(jiǎn)支正交異性板薄的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。
X. L. LENG 等對(duì)諧波激勵(lì)下隨機(jī)Duffing 系統(tǒng)的分岔和混沌進(jìn)行了分析。S. B. Samoylenko和W. K. Lee 研究了諧激勵(lì)下無(wú)阻尼圓板的全局分叉和混沌.燕山大學(xué)白象忠團(tuán)隊(duì)從2006 年起針對(duì)電磁彈性薄板在多場(chǎng)載荷作用下的分岔和混沌運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了系列研究，取得了一些研究成果。
5 結(jié)束語(yǔ)
本文回顧了電磁彈性薄板非線性振動(dòng)研究歷史，并重點(diǎn)介紹了國(guó)內(nèi)外薄板磁彈性振動(dòng)、熱彈耦合、熱磁彈性、分岔與混沌等方面的研究進(jìn)展，為薄板薄壁結(jié)構(gòu)在多物理場(chǎng)作用下性能優(yōu)化、提高工程結(jié)構(gòu)壽命提供了有益的理論指導(dǎo)。
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